6.1.2 空间向量的数量积（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.1.2　空间向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算. 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质. 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 (一)空间两个向量的夹角 1．夹角 向量a与向量b的夹角 〈a，b〉 [0，π] 同向 反向 互相垂直 a⊥b (1)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (2)①a，b＝b，a＝－a，－b＝－b，－a； ②a，－b＝－a，b＝π－a，b； (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 定义 设a，b是空间两个非零向量，我们把数量________________叫作向量a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝_______________ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ |a||b|·cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 0 2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b＝_____ 结合律 (λa)·b＝_______(λ∈R) 分配律 (a＋b)·c＝__________ b·a λ(a·b) a·c＋b·c (1)空间向量数量积的性质 续表 (2)与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零． ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 向量a向向量b投影 向量m向平面α投影 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× [题点一] 空间向量数量积的计算 方法技巧 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4)代入公式a·b＝|a||b|cosa，b求解. 方法技巧 [题点二] 利用数量积求夹角 拓展 2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值． 方法技巧 (1)求两个非零向量的夹角可以把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用夹角公式求异面直线所成的角的步骤 方法技巧 [典例3] 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. [题点三] 利用空间向量数量积证明垂直 方法技巧 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0. 对点训练 [题点四] 利用空间向量数量积求两点间的距离 方法技巧 方法技巧 5．已知正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长． 答案：AB　 注重实践应用 答案：A　 “四翼”检测评价见“四翼”检测评价（二） (单击进入电子文档) BUSINESS POWERPOINT 谢 谢 观 看 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作____________________ 图示 表示 _______ 范围 _______ 2.空间两个向量的关系 (1)如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b______； (2)如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b______； (3)如果〈a，b〉＝，那么称向量a与b__________，并记作______. ③，＝，＝π－，． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是 (　 ) A．，　　 B．， C．，　　 D．， 答案：B ① 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ② 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③ 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④ |a·b|≤|a|·|b| 3．向量在向量上的投影向量 (1)定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，如图，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.上述由向量a得到向量