第2章 7 导数的应用（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

开始 §7　导数的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.利用导数的定义，能解析实际问题中导数的意义． 2．利用导数解决生活中的最优化问题． 重点 难点 重点：导数的实际应用． 难点：数学模型的建立. 导数的实际意义 [典例1]　通过某导体横截面的电量q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数关系式为q(t)＝2t3＋3t. (1)求当t从1 s变到5 s时，电量q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求q′(5)，并解释它的实际意义． (2)∵q′(t)＝6t2＋3， ∴q′(5)＝6×52＋3＝153(C/s)， 它表示在t＝5 s时，每秒通过该导体横截面的电量为153 C，即电流强度为153 C/s. 几何中的最值问题 [典例2]　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？ [对点训练] 2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm. 3．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 生活中的实际应用问题 (1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e3＝20)． [对点训练] 4．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价（二十四）” (单击进入电子文档) 25 谢谢观看 ————————————————————————————— ————————————————————————————————— [解]　(1)当t从1 s变到5 s时，电量q从5 C变到265 C，此时电量q关于时间t的平均变化率为＝＝65(C/s)，它表示从1 s到5 s这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C. [对点训练] 1．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯． (1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？ (2)求I′(5)并解释它的实际意义． 解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为 ＝ ＝＝0.005(勒克斯/米)， 它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯． (2)∵I(x)＝＋， ∴I′(x)＝8·(－2·x－3)＋ ＝－＋. ∴I′(5)＝－＋ ＝－＝－0.112(勒克斯/米)． 它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米． ————————————————————————————— ————————————————————————————————— [解]　(1)设包装盒的底面边长为a，高为h， 则由题意可得，a＝x，h＝＝(30－x)，其中0<x<30， 所以S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800≤1 800， 因此，当x＝15时，S取得最大值． (2)根据题意，由(1)有V＝(x)2×(60－2x)＝2x2(30－x)(0<x<30)， ∴V′＝6x(20－x)，由V′＝0得，x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以，函数V＝2x2(30－x)在区间(0,20)上单调递增，在区间(20,30)上单调递减， 所以，当x＝20时，函数V＝2x2(30－x)取得极大值，也是最大值． 解析：设该漏斗的高为x cm， 则底面半径为 cm， 其体积为V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0<x<20)， 则V′＝π(400－3x2)． 令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)． 当0<x<时，V′>0； 当<x<20时，V′<0， 所以当x＝时，V取得最大值． 答案： 解：设弯成圆的一段长为x(0