3.2.1基本不等式的证明小练习-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.1基本不等式的证明小练习 一、 单项选择题 1. 若a>0，b>0，则“a＋b＝2”是“ab≤1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 在不等式＋(x－1)≥4(其中x＞1)中，等号成立的条件是(　　) A. x＝－2 B. x＝－3 C. x＝2 D. x＝3　 3. 若a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. a2＋b2≤ B. ≥ C. ≥4 D.≤4 4. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，C是AB上的一点(不同于点A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足为E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A. ≤(a>0，b>0) B. <(a>0，b>0，a≠b) C. ≤(a>0，b>0) D. <<(a>0，b>0，a≠b) 二、 多项选择题 5. 下列命题中，正确的是(　　) A. 若a≠0，则a2＋>2 B. 若a<0，则a＋≥－4 C. 若a>0，b>0，则a＋b≥2 D. 若a<0，b<0，则≥2 6. 设a＞0，b＞0，则下列结论中正确的是(　　) A. (a＋2b)≥9 B. a2＋b2≥2(a＋b＋1) C. ＋≥a＋b D. ≤ 三、 填空题 7. 已知a＞b＞c，则与的大小关系是__________________． 8. 若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是________．(填序号) ①≤； ②≤1； ③a2＋b2≥8. 四、 解答题 9. (1) 已知a，b为正实数，且＝4，求证：a＋b≥1； (2) 设a，b，c为正数，求证：≥a＋b＋c. 10. 已知x，y，z是互不相等的正实数，且x＋y＋z＝1. 求证：＞8. 参考答案 一、 单项选择题 1. 若a>0，b>0，则“a＋b＝2”是“ab≤1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【解析】a>0，b>0，根据基本不等式可得ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以“a＋b＝2”是“ab≤1”的充分条件；当ab≤1时，显然a＋b＝2不一定成立，所以“a＋b＝2”不是“ab≤1”的必要条件，所以“a＋b＝2”是“ab≤1”的充分不必要条件．故选A． 2. 在不等式＋(x－1)≥4(其中x＞1)中，等号成立的条件是(　　) A. x＝－2 B. x＝－3 C. x＝2 D. x＝3　 【解析】由基本不等式知等号成立的条件为＝x－1，即x＝3(x＝－1舍去)．故选D． 3. 若a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. a2＋b2≤ B. ≥ C. ≥4 D.≤4 【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，所以≤，当且仅当a＝b＝时取等号，故B错误；由≤，得ab≤，所以≥4，当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误；由a>0，b>0，且a＋b＝1，得＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故D错误．故选C． 4. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，C是AB上的一点(不同于点A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD，垂足为E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A. ≤(a>0，b>0) B. <(a>0，b>0，a≠b) C. ≤(a>0，b>0) D. <<(a>0，b>0，a≠b) 【解析】由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，DC＝＝＝，DE＝＝.因为DE<DC<DO，所以<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D． 二、 多项选择题 5. 下列命题中，正确的是(　　) A. 若a≠0，则a2＋>2 B. 若a<0，则a＋≥－4 C. 若a>0，b>0，则a＋b≥2 D. 若a<0，b<0，则≥2 【解析】对于A，a≠0，a2＋≥2＝2(当且仅当a＝±1时取等号)，故A错误；对于B，当a<0时，a＋＝－ ≤＝－4(当且仅当a＝－2时取等号)，故B错误；对于C，根据基本不等式可知C正确；对于D，若a<0，b<0，则≥＝2(当且仅当a＝b时取等号)，故D正确．故选CD. 6. 设a＞0，b＞0，则下列