专题25.19 相似三角形的性质与判定综合专题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题25.19 相似三角形的性质与判定综合专题（分层练习）（培优练） 1．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，点M，N分别在矩形的边和（或延长线）上，连接，，若． （1）求证：是等腰三角形； （2）当M为中点时，交于点，若，，求的长； （3）当M为上任意一点，探究，，间的数量关系，并证明． 2．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点D为边上一点，连接，过点D作交于点E．   （1）求证：； （2）若，，求． 3．（2022·福建厦门·校考二模）如图，在中，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上． （1）在图中求作；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 （2）若交于点，，，求的长． 4．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向终点C运动，连接，作点B关于直线的对称点Q，连接、，设P点运动时间为t秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）连接，求的最小值． （3）当所在直线与边所夹锐角等于时，求的面积． （4）当的边与的任意一边平行时，直接写出t的值． 5．（2022·河北邯郸·校考三模）在正方形中，，F为对角线上一动点，连接，以为斜边向右下方作等腰直角，连接．   （1）如图1，当点E落在线段上时，求证：； （2）如图2，当点E不在线段上时，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）当时，求线段的长； （4）若点F从点B运动到点D，直接写出点E经过的路径长． 6．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在正方形中，点E是边上一点，与交于点M，延长交于点H，连接．     （1）求证：； （2）若，求的值； （3）已知正方形的边长为1，点E在运动过程中，的长能否为，请说明理由． 7．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知中，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．   （1）求证：； （2）若点F是上一点，且，求的最小值． 8．（2022秋·吉林·九年级校考期末）如图所示，中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作于点，并作关于直线对称的，设点的运动时间为，与的重叠面积为． （1）当点在边上时， ______（用含的代数式表示）． （2）当点与点重合时，求的值； （3）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 9．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为．的长度为，与的函数图象如图2所示．   （1）当恰好平分时，求的值； （2）满足（1）的条件下，求证：． 10．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知：如图，在中，点D在边上，与分别相交于点．   （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）若，点D是的中点，连接，求的长． 11．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 12．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 13．（2022·辽宁朝阳·统考三模）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，点E在BC上，且EC＝AC．连接AE，F为AE的中点，CD⊥AB于D，过点E作EH∥CD交DF的延长线于点H，DH交BC于M． （1）探究∠EAB和∠BCD之间的数量关系，并证明； （2）求证AD＝EH； （3）若BC＝kAC，求的值（用含有k的代数式表示）． 14．（2022·山东德州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：． （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值． 15．（2021·浙江·九年级专题练习）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转． （1）当三角板旋转到图1的位置时、猜想CE与AF的数量关系，并加以证明； （2）若BC＝6，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求出DF和DN的长． 16．（2021秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在△A