专题3 相似三角形的基本模型-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

专题三 相似三角形的基本模型（答案P15) 类型1“A”字型 4.(2023·保定期末)如图所示，已知BD是 1.(2023·石家庄新华区一模)如图所示，已知 △ABC的角平分线，E是BD延长线上的一 △ABC的面积为18，点M和点N分别为AB 点，且AE=AB 边和BC边上的中点，分别连接AN,CM相交 (1)求证：△ADE∽△CDB. 于点P,连接MN. (若AB-4S-号求BC的长 (1)PN:PA= (2)△APC的面积为 B 2.如图所示，在△ABC中，AB=12,AC=8,点 D,E分别在边AB,AC上，且BD=8,EC= 2.求证：△ADEC∽△ACB. 类型3“子母”型 5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是 类型2“X”字型及其变形 斜边AB上的高，AD=9,BD=4,求CD和 3.如图所示，AE与BD相交于点C,连接AB, AC的长. DE,已知AC=5,BC=3,EC=10,DC=6. 求证：AB∥DE. 一九年级上饰数学 68 6.(2023·石家庄藁城区期末)如图所示，等边三8.如图所示，在△ABC与△ADE中，∠C= 角形ACB的边长为3，点P为BC上的一点， ∠E,∠1=∠2，AC=AD=2AB=6,求AE 点D为AC上的一点，连接AP,PD, 的长 ∠APD=60° (1)求证：△ABP∽△PCD (2)若PC=2,求CD的长. 类型5“一线三等角”型 9.探究拓展)(1)尝试：如图①所示，已知A,E, B三点在同一直线上，且∠A=∠B= ∠DEC=90°.求证：△ADE∽△BEC. 类型4“旋转”型 (2)一名同学做完上题后还发现：如图②，③所 7.如图所示，∠1=∠2，AB·AD=AC·AE,求 示，只要A,E,B三点在同一直线上，且∠A= 证：△ABC△AED. ∠B=∠DEC,则(1)中的结论总成立.你同意 吗？请选择其中之一说明理由， 4A4 69 优学案课时通∴.梯形ABCD是等腰梯形，∴.∠ABC=∠BCD 又，∠BCE=∠ABD,∴.∠DBC=∠DCE. ÷8C-8:ZAcB=∠BCD :∠BDC=∠CDE,.△DECn△DCB, △ABC∽△EDC,∴.∠A=∠E, ÷8S-8ScD-DE·DB ∴.AB∥DE. 4.解：(1)证明：，BD是∠ABC的平分线， 11.解：(1)DE∥BC, ∠ABD=∠CBD 0品脚铝 ,AB=AE,.∠ABD=∠E 612 ∴.∠E=∠CBD. 解得AE=10. ,∠EDA=∠BDC,∴.△ADE∽△CDB. (2)DE∥BC, (2)'AE=AB,AB=4,..AE=4. 裙能品 .46 △ADE∽△CDB, 解得AC=15, ge%-日Bc-AE-2 ∴.EC=AC-AE=9. 5.解：，∠A十∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， 12.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠BCD. ∴.AD∥BC, :∠ADC=∠CDB=90°， ∴.∠ADM=∠NBM,∠DAM=∠BNM, AM DM :.△ADM∽△NBM,MN-BM △CRDAACD.÷0-需 AD=9,BD=4, :AB∥DC,∴∠P=∠BAM,∠MDP=∠ABM, .CD=√BD·AD=√36=6. ∴.△PDM∽△ABM, ÷AM-BMMN=MNMP AC=AD+CD=√/9+6=313. 6.解：(1)证明：在等边三角形ACB中，∠B= (2)AD∥BC,∴.∠PCN=∠PDA,∠P=∠P, ∠C=60. △PCN△PDAS-AS :∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B, .∠DPC=∠PAB.△ABP∽△PCD. PC NC 1 (2)△ABPn△PCD,AB=BC=3,PC=2, DC CP-211PD-AD-3 .ABBP 又AD=6,.NC=2,.BN=4. P元-CD,BP=BC-PC=L, 13.证明：(1)：∠ACB=90°， :.CD-PC.BP_2X1_2 ∴.∠ACD+∠BCD=90, AB 33 ,CD为AB边上的高， 7.证明：，∠1=∠2，∠1+∠EAC=∠BAC,∠2+ .∠ADC=∠CDB=90°， ∠EAC=∠EAD,.∠BAC=∠EAD. ∴.∠A+∠ACD=90°， .∠A=∠BCD. :AB·AD=AC·AE,即AB=AC AE AD ,BE是∠ABC的平分线， ∴.△ABCC∽△AED ∴∠ABE=∠CBE, 8.解：，∠1=∠2，∴∠CAB=∠EAD. '.△AEB∽△CFB」 又∠C=∠E,.△ABCC∽△ADE, (2)由(1)，得∠ABE=∠CBE,∠A=∠BCD, '.∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE, ÷S-8:aC=AD=2AB=6, ∠CEF=∠CFE,∴.CE=CF. 63 六AB=3AE6AE=12. △AEBACFB,S-802能-品 9.解：(1)证明：：∠A=∠DEC=90°， 专题三相似三角形的基本模型 .∠DEA+∠D=90°，∠DEA+∠CEB=90° ∴∠D=∠CEB.又，∠A=∠B, 1.(1)1:2(2)6 ∴.△ADE∽△BEC. 2.证明：：AB=12,AC=8,BD=8,EC=2, (2)同意.答案不唯一，选择图②.理由如下： ..AD=AB-BD=12-8=4,AE=AC-CE=8- :∠A=∠DEC,∠DEC+∠CEB=∠A+∠D 2=6, .∠D=∠CEB. 品音福-是品福 又，∠A=∠B,∴.△ADE∽△BEC 又∠A=∠A,∴.△ADE∽△ACB. 25.6相似三角形的应用 3运明：纪-品-名瓷-名- 第1课时利用相似三角形测高度 1.C2.B3.B4.3 15