专题04 指数与对数（4大考点13种题型）（考点清单）-2023-2024学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题04 指数与对数（考点清单） 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、对数式的运算 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； （3） 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②（其中且，）； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 01 根式 【考试题型1】n次方根的概念 【解题方法】（1）方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． （2）符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定． ①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【专训1-1】（2023·全国·高一专题练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【专训1-2】（2023·江苏·高一专题练习）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【考试题型2】利用根式的性质化简或求值 【解题方法】　n为奇数时，（）n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，（）n才有意义，且（）n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|． 【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）若，则 . 【专训2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，则 【专训2-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，化简 ． 02 指数幂的拓展 【考试题型1】根式与分数指数幂的互化 【解题方法】根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数化为分数指数的分母， 被开方数（式）的指数化为分数指数的分子． （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【典例1】（2023·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【专训1-1】（2023·高一课时练习）将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【专训1-2】（2023·高一课时练习）用分数指数幂表示，为（    ） A． B． C． D． 【考试题型2】有理数指数幂的运算 【解题方法】1．有理数指数幂运算的常用技巧 （1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． （2）负指数幂化为正指数幂的倒数． （3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则． 2．根式化简的步骤 （1）将根式化成分数指数幂的形式． （2）运用分数指数幂的运算法则求解． 3．对于化简或求值结果的要求 对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序． 【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【专训2-1】（2023·上海·高一专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【专训2-2】（2023·江苏·高一专题练习）化简：. 【考试题型3】用乘法公式化简含指数幂的代数式 【解题方法】引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式 【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【专训3-1】（2023·江苏·高一专题练习）化简求值： (1)； (2)若，求，的值. 【专训3-2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 03 对数的概念 【考试题型1】对数的概念 【解题方法】在对数式b＝logaN中，b叫作以a为底N的对数，底数a>0，a≠1，真数N>0． 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）有下列说法： ①以1