04-第4章 指数与对数(综合检测卷)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学指数与对数单元复习课件系统梳理了指数对数的概念、运算性质及应用，通过知识框架图将定义、运算法则、方程求解与实际情境串联，构建从基础到综合的知识网络，体现知识点间的逻辑递进关系。 其亮点在于采用“情境问题-逻辑推理-模型应用”复习模式，如超声波衰减、碳定年法等实际题培养数学眼光，三角形形状判断等综合题发展数学思维，规范的解答过程训练数学语言表达。分层设计的题型让不同学生巩固知识，教师可借此精准把握学情提升复习效率。

第4章 指数与对数 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知n∈N*,则“ =a”是“a>0”的 （ ） A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　由 =a,推不出a>0,比如 =-5,充分性不成立;若a>0,则 =a,必要性成立. 因此,“ =a”是“a>0”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2. 已知3a=4,b=log3 ,则a+b= （ ） A.9　    B.2　    C. 　    D.-2     B     解析　因为3a=4,所以log34=a,因为b=log3 , 所以a+b=log34+log3 =log39=2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.若5m=2,5n=3,则 = （ ） A. 　    B. 　    C. 　    D.      A     解析     = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数 根,则△ABC的形状是 （ ） A.锐角三角形　    B.直角三角形　     C.钝角三角形　    D.等腰三角形     B     解析　由题意可知,a>0,b>0,c>0, 因为关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,所以Δ=4-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,即lg(c2- b2)-2lg a=0,即lg =0,所以 =1,所以c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知3m=5,n=log23,则log3690可用m,n表示为 （ ） A. 　    B. 　    C. 　    D.      D     解析　由3m=5,得m=log35,又n=log23,所以log32= = ,所以log3690= = =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.若ln a+ln b=1,则4a·8b的最小值为 （ ） A.2 　    B.26e　    C. 　    D.      D     解析　由ln a+ln b=1,得ln ab=1,所以ab=e, 所以4a·8b=22a·23b=22a+3b≥ = = = , 当且仅当2a=3b,即a= ,b= 时,等号成立. 所以4a·8b的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.信号在传输介质中传播时,将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收,从而导致信号强度不断 减弱,这种现象称为衰减.在试验环境下,超声波在某种介质的传播过程中,我们可以用P(s)=P0e-Ks来描述 声压P(s)(单位:帕斯卡)随传播距离s(单位:米)的变化规律,其中P0为声压的初始值,常数K为试验参数.若 试验中声压初始值为900帕斯卡,传播5米时的声压降低为400帕斯卡,据此可得试验参数K的估计值为 (参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) （ ） A.0.162　    B.0.164　    C.0.166　    D.0.168     B     解析　由题意知400=900e-5K,两边同除以100后取自然对数,得ln 4=ln 9-5K,所以K= =  ≈ = =0.164. 第1讲　描述运动的基本概念 8.若“∃x∈(0,m),x> ”为假命题,则m的最大值为 （ ） A.17　    B.16　    C.15　    D.14     C     解析　因为“∃x∈(0,m),x> ”为假命题, 所以“∀x∈(0,m),x≤ ”为真命题.  = = =5×5lg 3×3lg 2. 设5lg 3=t(t>0),所以log5t= =lg 3,所以 =lg 5,所以log3t=lg 5,所以t=3lg 5,所以5lg 3=3lg 5,所以 =5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15,即∀x∈(0,m),x≤15,所以0<m≤15,所以m的最大值为15. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设a,b为实数,若10a=5,10b=20,则 （ ） A.a+b=2　    B.b-a>lg 5　     C.ab<2(lg 5)2　    D.log258=      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为10a=5,10b=20,所以a=lg 5,b=lg 20, 对于A,a+b=lg 5+lg 20=lg 100=2,所以A正确; 对于B,b-a=lg 20-lg 5=lg 4<lg 5,所以B错误; 对于C,ab=lg 20·lg 5<lg 25·lg 5=2(lg 5)2,所以C正确; 对于D,log258= = = = = ,所以D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.若n∈N*,不等式(nx-6)ln ≥0恒成立,则实数x的可能取值有 ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     BC     解析　当x=1,n=2时,(n-6)ln n=-4ln 2<0,不等式(nx-6)ln ≥0不恒成立,故A错误; 当x=2时,原不等式为(2n-6)ln ≥0,当n=1,2,3时,原不等式恒成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故B正确; 当x=3时,原不等式为(3n-6)ln ≥0,当n=1,2,3时,原不等式恒成立,当n≥4时,原不等式恒成立,故C正确; 当x=4时,原不等式为(4n-6)ln ≥0,当n=2时,8-6=2>0,ln <0,原不等式不成立,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.设正数a,b满足aln b=2,aln a·bln b=9,则 （ ） A.ln a·ln b=ln 2　    B.bln a=2　     C.ln a+ln b=ln 6　    D.(ab)ln(ab)=36     ABD     解析　　对aln b=2的两边同时取自然对数,得ln aln b=ln 2,所以ln a·ln b=ln 2,故A正确. 由A中分析得ln a·ln b=ln 2,所以ln bln a=ln 2,所以bln a=2,故B正确. 对aln a·bln b=9的两边同时取自然对数,得ln(aln a·bln b)=ln 9,所以ln aln a+ln bln b=ln 9,即ln a·ln a+ln b·ln b=ln 9,所 以(ln a+ln b)2=ln a·ln a+ln b·ln b+2ln a·ln b=ln 9+2ln 2=ln 36,所以ln a+ln b=± ,故C错误. 由C中分析得(ln a+ln b)2=ln 36,所以[ln(ab)]2=ln 36,即ln(ab)·ln(ab)=ln 36,所以ln(ab)ln(ab)=ln 36,所以(ab)ln(ab) =36,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知3a=5b=A,且b+a=2ab(a,b均不为0),则A的值是_____. 解析　因为a,b均不为0,所以A>0,A≠1,所以由3a=5b=A得alogA3=blogA5=1. 由b+a=2ab,得 + =2,所以2=logA3+logA5=logA15,所以A2=15,所以A= . 第1讲　描述运动的基本概念 13.若1 ·t=6×1 ,则t=______.     30 解析　因为1 ·t=6×1 ,所以t= = = =3× =3× =30. 第1讲　描述运动的基本概念 14.若x+x-1=3,则 =_____. 解析　将x+x-1=3的等号两边同时平方,得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,所以 = =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求下列各式的值: (1)log9 - +(lg 2)2+lg 5×lg 20; (2)80.25× +( × )6+ ; (3) +lo 8-lg +lg 25-lg -ln . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)原式=log93- +(lg 2)2+lg 5×(lg 2+1)= -4+lg 2×(lg 5+lg 2)+lg 5=- +1=- . (4分) (2)原式= × +( × )6+ =2+4×27+ = . (8分) (3)原式=( )2-log223-(lg 5-4lg 2)+2lg 5-3lg 2- =9-3+lg 5+lg 2- = +lg 10= . (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知m=2log3x,n=log5(x-1). (1)若3m-5n=3,求x的值; (2)当x=4时,用含m,n的式子表示log1520. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵m=2log3x,n=log5(x-1), ∴ 解得x>1. (3分) 3m-5n= - = - =x2-x+1, 又3m-5n=3,∴x2-x+1=3,解得x=-1(舍去)或x=2. 故x的值为2. (7分) (2)当x=4时,m=2log34=4log32,n=log53,∴ =log32, =log35, (10分) ∴log1520= = = = = . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)解方程: (1)log(5x) +(log5x)2=1; (2)log3(3x-1)·log3 =2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知5x>0且5x≠1,即x>0且x≠ .(2分) ∵log(5x) = = , ∴原方程可化为 =(1-log5x)(1+log5x), 即(1-log5x)· =0, 即(1-log5x)· =0, (5分) ∴log5x=1或1+log5x=±1,解得x=5或x=1或x= . (7分) (2)由题知3x-1>0且3x-1- >0,即x>0. (9分) 第1讲　描述运动的基本概念 ∵log3(3x-1)·log3 =2, ∴log3(3x-1)·log3[3-1(3x-1)]=2, ∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)+log33-1]=2, ∴log3(3x-1)·[log3(3x-1)-1]=2, (12分) 令t=log3(3x-1),则t2-t-2=0,解得t=2或t=-1,  ∴log3(3x-1)=2或log3(3x-1)=-1, 解得x=log310或x=log3 . (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)(1)已知ax3=by3=cz3, + + =1,求证: = + + ; (2)已知2y·logy4-2y-1=0, ·log5x=-1,是否存在一个正数p,使得p= ?若存在,求出p;若不存在,请 说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:令ax3=by3=cz3=t,则ax2= ,by2= ,cz2= . (2分) ∵ + + =1,∴ax2+by2+cz2= + + =t =t. (5分) ∴(ax2+by2+cz2 = =  = + + = + + . (8分) (2)存在. (9分) 由2y·logy4-2y-1=0,得2y =0. ∵2y>0,∴logy4- =0,∴logy4= ,∴y=16. (10分) 由 ·log5x=-1,得 =- =-logx5>0,∴ (logx5+1)= , (12分) 解得logx5=- 或logx5=1(舍去),∴ =5,∴ =25. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 ∴p= = =3. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)放射性碳定年法是由威拉德·利比发明的一种考古断代方法,该方法基于生物体内碳14含量的 衰减规律来测定文物年代,威拉得·利比因此获得1960年诺贝尔化学奖.设碳14的初始含量为N0,经过t(t ≥0)年后的含量为N,且 = .已知碳14的半衰期为5 730年,即每经过5 730年,碳14含量会衰减为原 来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%,根据放射性碳定年法推测,该化石距今有多少年历 史? (2)在实际考古测定中,由于测量误差的存在,碳14含量的测量结果可能存在±1%的误差,不考虑其他误 差,则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年?(注:四舍五入到整数,ln 0.99≈-0.010 05,ln 1.01 ≈0.009 95,ln 2≈0.693) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得, = ,解得λ=5 730,所以 = . (3分) 令 = = ,得t=11 460,所以根据放射性碳定年法推测,该化石距今有11 460年历史. (6分) (2)设测量误差为-1%对应的衰减时间为t1年,测量误差为1%对应的衰减时间为t2年,无误差时对应的衰 减时间为t0年, 则0.99 = ①,1.01 = ②, = ③.(9分)  ,得0.99= ,两边同时取以2为底的对数,得log20.99= , ∴|t1-t0|=|5 730log20.99|= ≈83. (12分) 第1讲　描述运动的基本概念  ,得1.01= ,两边同时取以2为底的对数,得log21.01= , ∴|t2-t0|=|5 730log21.01|= ≈82. (15分) 综上,用此法测得的化石真实年代的误差最大为83年. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $