精品解析：福建省厦门第一中学2024届高三上学期数学第一次（10月）月考数学试题

厦门一中2024届高三年数学科10月月考卷 满分150分 考试时间：120分钟 考试时间：2023.10.03 命题：廖献武 审核：张帆 一､选择题：本题8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集共有（ ） A. 8个 B. 16个 C. 32个 D. 64个 2. 若，其中i为虚数单位，则（ ） A. i B. C. 1 D. 3. 已知函数定义域为，数列满足，则“数列为递增数列”是“函数为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ） A. 4 B. 7 C. 16 D. 31 5. 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边落在直线上，则的值为（ ） A. B. C. ±2 D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题4小题，每题5分，共20分.全部选对得5分，少选得2分，选错得0分. 9. 设为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中，，且满足①；②；③在区间单调，则下述结论中正确的为（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间单调递增 11. 直三棱柱中，，点是线段上动点（不含端点），则（ ） A. 与一定不垂直 B. 平面 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 的最小值为 12. 已知是函数（且）的三个零点，则的可能取值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知为锐角，，则__________. 14. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有_____．（用数字作答） 15. 函数的值域为__________. 16. 已知函数，若函数在区间上有且只有1个零点，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知数列前项和为，且对任意的有. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 18. 的内角的对边分别为，已知，且的面积. （1）求C； （2）若内一点满足，，求． 19. 已知分别是椭圆右顶点和上顶点，，直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线，与轴交于点，与椭圆相交于点，求证：为定值. 20. 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点， （1）证明:平面PBD平面ABCD； （2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由. 21. 某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和． （1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值； （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值． ①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？ ②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值． 22. 函数， （1），求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实