2023年上海市高中校自主招生数学模拟卷七

自主招生模拟卷七 一、填空题(每题 6 分) 1、正整数 2016 的不同正因数的个数为 。 2、已知 a > 1 ，则 a + 的最小值等于 。 3、若平面直角坐标系内， 一只跳蚤停在点（5，0）处，它要跳到点（6，0) 处，它每一跳都是飞 跃 5 个单位长度，并且总是跳到整点（坐标都是整数的点），也从不原路返回.那么当它跳 到（6，0) 时，至少跳了 次. 4、设 A0 , A1 , … , An -1 依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连 成的凸多边形，如四边形 A3 A4 A5 A6 、七边形 An -2 An -1A0 A1A2 A3 A4 等.如果所有这样的凸多边形 的面积之和是 231，那么 n 边形的最大值是 ，此时正 n 边形的面积是 。 5、已知 a = 1999x + 2000, b = 1999x + 2001, c = 1999x + 2002 ，多项式 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca 的 值 . 6、已知：等腰 ΔABC ，两圆外切且都与 AB、AC 相切，两圆半径为1 和 2 ，则 ΔABC 的面积为 。 7、在函数 f (x) = x2 - 43 图上有一点(2n, (2m +1)2 ) ，m, n 为正整数，则mn -m 的值为 。 ( 8 )8、二次函数 y = ax2 + (1 - 4a)x - 2 与y = x 有唯一交点，则这个交点为 。 9、如图，在正方形 ABCD 中， N 是DC 的中点， M 是 AD上异于D 的点，且 ∠NMB = ∠MBC. 则 tan ∠ABM = . 10、形如“313 ”，“72427”的正整数成为回文数，即这个数的各个数位前后颠倒过来后仍 是这个数， 1 亿以内的回文数的个数为 . 二、解答题(每题 10 分，第2题含两小题各10分) 1、如图，点 P 在正方形 ABCD 的外接圆的弧DC 上，求证： PA(PA + PC) = PB(PB + PD) 2、解方程( [x] 表示不大于x 的最大整数， {x} 表示x 的小数部分) (1) x3 - [x] = 3 (2) 25{x} + [x] = 125 3、已知三个关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0, bx2 + cx + a = 0, cx2 + ax + b = 0 恰有一个公 共实根，求 的值 学科网（北京）股份有限公司 $$