2024届高三数学一轮复习必备之平面向量基础过关讲义

高三一轮复习必备 之 平面向量基础过关 一、向量的基本概念 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量， 规定：零向量与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 例1：下列命题中，正确的是(　　) A.若a与b都是单位向量，则a＝b B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 C.若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D.海拔、温度、角度都不是向量 例2：下列说法正确的是（ ） A. 向量与共线，与共线，则与也共线 B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C. 向量与不共线，则与都是非零向量 D. 有相同起点的两个非零向量不平行 例3：(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关 D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b| 二、向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 例4：化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）. 例5：化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 例6：（1）已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是____.(填序号) （2）在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量. （3） 如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示. 例7：如图，在▱ABCD中，若， （1）当满足什么条件时， ? （2）当满足什么条件时，? 例8：（1）若,满足,则的最大值为________，最小值为_________； （2）当非零向量,满足_________时，平分与的夹角. （3）已知,且与的夹角，求； （4）已知,且,求. 例9： 已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值． 例10：已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值． 例11：如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线． 例12：已知， 是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值． 例13：设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值． 例14：已知，，，求与的夹角． 例15：已知中，，，当或时，试判断的形状． 例16：已知，，与的夹角为60°，求． 例17： 已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？ 例18：（1）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. （2）已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 例19：已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，？ 例20：设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值． 三、平面向量基本定理的应用 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1