第3章 微专题整合——“填补法”计算物体间的万有引力（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中物理必修第二册（教科版2019）

微专题整合——“填补法”计算物体间的万有引力 对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。 所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体挖空部分为球体补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。 [典例]　一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在与被挖球相距为d的地方，求下列两种情况下，两球之间的万有引力分别是多大，并指出在什么条件下，以下两种情况计算结果相同。 (1)如图甲所示，从球的正中心挖去； (2)如图乙所示，从与球面相切处挖去。 [解题指导]　当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时，剩余部分M′仍关于球心对称，且质量均匀分布，所以剩余部分M′与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时，剩余部分M′不再关于球心对称，所以剩余部分M′与球m之间的距离不再是d。 [解析]　根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球＝πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m＝，M′＝。 (1)当从球的正中心挖去时，根据万有引力定律，这时两球之间的引力F1＝G＝G。 (2)当从与球面相切处挖去时，这种情况不能直接用万有引力公式计算，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时M与m之间的引力F＝G＝G， 因为填补空心球而增加的引力 ΔF＝G＝G， 所以，这时M′与m之间的引力 F2＝F－ΔF＝GM2。 当d≫R时，F2≈GM2＝G＝F1， 即两种情况计算结果相同。 [答案]　见解析 [应用体验] 1.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　质量为M的球体对质点m的万有引力 F1＝G＝G 挖去的球体的质量M′＝M＝ 质量为M′的球体对质点m的万有引力 F2＝G＝G 则剩余部分对质点m的万有引力 F＝F1－F2＝G－G＝，故选项A正确。 2.两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起，三个球心在一条直线上，试计算它们之间的万有引力大小。 解析：如图甲所示，原来是个实心球时，可知： F＝G；① 右边的球体被挖去一小球体后，设它们之间的万有引力为F′；右边的球体不能看成质点，则不能直接应用万有引力定律求F′的值；如图乙所示，可以用“填补法”处理该问题。如图丙所示，被挖掉部分小球体与左边球体之间的万有引力为：F1＝G，② 且m1∶m＝3∶r3＝1∶8，③ 联立①②③式得：F1＝F；④ 剩余部分之间的万有引力大小为：F′＝F－F1，⑤ 联立④⑤式得：F′＝F。 答案：F 学科网（北京）股份有限公司 $$