3.1.2 表示函数的方法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

3.1.2　表示函数的方法(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 逐点清(一)　函数的三种表示法 [多维度理解] 三种常用的函数表示方法 微点助解 对三种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点 [细微点练明] 1．判断正误： (1)所有函数都能用三种表示法表示．(　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示．(　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.(　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知函数y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　 ) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 解析：选C　设y＝，由题意知1＝，即k＝2.∴y＝. 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________. x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 解析：∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3. 答案：3 4．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？ 解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}． 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 逐点清(二)　函数的图象 [多维度理解] 作图通常有列表、描点、连线三个步骤： (1)列表——先找出一些有代表性的自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； (3)连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． [细微点练明] 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是__________，值域是________． 解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]． 答案：[－3,3]　[－2,2] 2．作出下列函数的图象并根据图象判断其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． 解：(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．如图①所示，由图象知函数的值域为[1,5]． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．如图②所示，由图象知函数的值域为(0,1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．如图③所示，由图象知函数的值域为[－1,8]． 逐点清(三)　求函数的解析式 [典例]　求下列函数的解析式： (1)(换元法或配凑法)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)； (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)； (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． [解]　(1)法一：换元法　令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二：配凑法　由已知得f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3. 因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 因为f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x. 联立 解得f(x)＝x－1. [方法技巧]　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函