课时跟踪检测13 基本不等式的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（湘教版2019）

4 / 4 课时跟踪检测（十三） 基本不等式的应用 A级——综合提能 1．已知a>0，则a＋的最小值为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 2．下列各式中最小值为2的是(　 ) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 解析：选B　对于A，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于B，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于C，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；对于D，y＝t＋＋1≥3. 3．函数y＝3x2＋的最小值是(　 ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D　y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D. 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　 ) A．4 B．2 C．8 D．16 解析：选B　由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立． 5．矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　 ) A．4 B. C. D．2 解析：选B　依题意可得a，b>0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号．所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为. 6．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 答案：　 7．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为4x万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x为________． 解析：由题意， 总的费用y＝×4＋4x＝4≥160(x>0), 当且仅当＝x时，即x＝20时取等号， 所以每次购买的数量为20吨． 答案：20 8．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为__________． 解析：(1＋x)(1＋2y)≤2＝2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立． 答案：9 9．设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，即ab≥，当且仅当a＝b时，等号成立． ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a2＋b2的最小值为1. (2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab.∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3， 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab＝1. 10.如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 解：(1)T＝＝＝＋＋. (2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即v＝20时取等号． ∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大． B级——应用创新 1．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B．1 C．2 D．6 解析：选C　设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2. 2．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为__________． 解析：因为a，b为正实数，且a＋b