3.3.1 指数函数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

3.1　指数函数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.会从形式上判断一个函数是否是指数函数. 3.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题. 逐点清(一)　指数函数的概念 [多维度理解] 1.指数函数的定义 根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应.因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. 2.指数函数y＝ax的基本性质 (1)定义域是，函数值大于0； (2)图象过定点(0,1). 微点助解 指数函数有4个特点 (1)定义域必须是R； (2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数； (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1. [细微点练明] 1.判断正误： (1)y＝x2是指数函数.(　 ) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数.(　 ) (3)y＝2x－1是指数函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　 ) A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a＞0且a≠1 解析：选C　若函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a－2＝1，a＞0，且a≠1，解得a＝3，故选C. 3.给出下列函数： ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx； ⑧y＝(2a－1)x. 其中为指数函数的有________(填序号). 解析：对于③，－4x是－1与4x的乘积，故③不是指数函数；对于④，底数－4<0，故④不是指数函数；对于⑥，指数不是自变量x，而是x的函数x2，故⑥不是指数函数；对于②、⑦，底数x不是常数，故②、⑦不是指数函数.由指数函数的概念可知，①⑤⑧是指数函数. 答案：①⑤⑧ 逐点清(二)　求指数函数的解析式或值 [多维度理解] (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. [细微点练明] 1.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝(　 ) A.4　　　 B.5　 C.6　　　 D.8 解析：选B　由f(1)＝2⇒a＝2⇒f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5. 2.若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　 ) A.－2 B.2 C.－2 D.2 解析：选B　因为函数f(x)＝·ax是指数函数，所以a－1＝1，a＞0，且a≠1，即a＝4.所以f(x)＝4x.则f＝4＝2. 3.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于(　 ) A. B. C.2 D.3 解析：选A　设点C(0，m)(m>0)，则由已知条件可得A，E，B.因为点E，B在指数函数y＝ax(a>1)的图象上，所以解得m＝2，所以a＝－(舍去)或a＝. 4.已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f＝a－＝＝5－，得a＝5，故f(x)＝5x.因此，f(3)＝53＝125. 答案：125 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. [典例]　某地2022年年底人口数为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区人口数的年平均增长率为1%，要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米；参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7). [解析]　设平均每年新增住房面积为x万平方米，则≥7，解得x≥86.61≈87(万平方米). [答案]　87 [方法技巧] (1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段. (2)在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示.　　 [针对训练] 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原