3.2 指数幂的运算性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

§2　指数幂的运算性质 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握指数幂的运算性质及应用. 2.能准确熟练的进行根式、指数式的相互转化. 3.能够熟练地利用性质进行代数式的化简与求值.　　 对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β；(2)(aα)β＝aα_β；(3)(ab)α＝aαbα. 微点助解 (1)除上述运算性质外，还有如下性质： ①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②r＝(a＞0，b＞0，r∈Q). (2)有理数指数幂的几个常见结论： ①当a＞0时，ab＞0；②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s；④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a＞0，b＞0). [基点训练] 1.下列运算结果中，正确的是(　 ) A.a2·a3＝a5 B.(－a2)3＝(－a3)2 C.(－1)0＝1 D.(－a2)3＝a6 解析：选A　a2·a3＝a2＋3＝a5，故A正确；(－a2)3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B、D错误；当a＝1时无意义，故C错误. 2.计算－的结果是(　 ) A.π B. C.－π D. 答案：D 3.若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________. 解析：∵10x＝3，∴102x＝9.∴102x－y＝＝. 答案： 题型(一)　利用指数幂的运算性质求值 [典例]　计算下列各式： (1)3π×π＋(22 )＋1＝__________； (2)0＋22×－×2＝________；　　　　 (3)2＝______. [解析]　(1)原式＝π＋2 2×＋1＝1π＋24＋1＝18. (2)原式＝1＋4×－×2＝1＋6－3×2＝7－＝. (3)原式＝2 ＝29×32＝4 608. [答案]　(1)18　(2)　(3)4 608 [方法技巧] 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质. [针对训练] 计算下列各式： (1)0＋2－2×－－(0.01)0.5； (2)0.5＋0.1－2＋－－3π0＋； (3)(0.064)－－0＋－＋16－0.75＋|－0.01|. 解：(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100. (3)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝. 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简 [典例]　(1)化简：＝________(a，b＞0). (2)化简：2x(－3xy－)÷(－6x－y－)＝________(x，y>0). [解析]　(1)原式＝ ＝＝＝a－－＝a－1＝. (2)原式＝[2×(－3)÷(－6)]x＋＋y－＋＝x2y. [答案]　(1)　(2)x2y [方法技巧] 指数式的化简、求值问题的解题思路 (1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减. (2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错. [针对训练] 1. 化简(a，b为正数)的结果是(　 ) A. B.ab C. D.a2b 解析：选C　原式＝＝a＋－·b＋1－－2＝. 故选C. 2.化简求值： ÷ (a>0). 解：原式＝[a××a×]÷[a××a×]＝a－＋－＝a0＝1. 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [典例]　已知a＋a－＝3，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3). [解]　(1)将a＋a－＝3两边平方， 得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7. (2)将a＋a－1＝7两边平方， 可得a2＋a－2＋2＝49， ∴a2＋a－2＝47. (3)∵a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a－a·a－＋a－1) ＝3(a＋a－1－1) ＝3(7－1)＝18， 而a2＋a－2＝47， ∴原式＝＝＝3. [方法技巧] (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a＞0，b＞0)： ①a±2ab＋b＝(a±b)2； ②(a＋b)(a－b)＝a－b； ③a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； ④a－b＝(a－b)(a＋ab＋b). [针对训练] 1.已知10m＝2,10n＝4，则10的值为(　 ) A.2 B