2.3 函数的单调性和最值（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

§3　函数的单调性和最值 第 1 课时　函数的单调性及其应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性. 2.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性. 3.理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性. 4.能应用函数的单调性解决一些简单问题. 1.函数单调性的概念 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数.特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 函数y＝f(x)的图象在区间D上从左到右是上升的 减函数 如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数.特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 函数y＝f(x)的图象在区间D上从左到右是下降的 单调性 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间 2.函数单调性的运算性质 若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质. (1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性. 微点助解 1.对函数单调性的理解 (1)x1，x2的三个特征 ①任意性：定义中“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x1<x2；③同区间：x1和x2属于同一个单调区间. (2)增、减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数. 2.对单调区间的理解 (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.如：函数f(x)＝在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调递减的. (3)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点. [基点训练] 1.判断正误： (1)函数y＝x2在R上是增函数.(　 ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(　 ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”.(　 ) (4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　 ) A.[－4,4] B.[－4，－3]∪[1,4] C.[－3,1] D.[－3,4] 解析：选C　由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1].故选C. 3.(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　 ) A.y＝－ B.y＝x C.y＝－|x| D.y＝1－x 解析：选CD　选项A、B中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项C、D满足条件. 4.若函数f(x)在[－2,2]上是增函数，则f(－1)________f(2).(填“>”“＝”或“<”) 解析：∵函数f(x)在[－2,2]上是增函数，且－1<2，∴f(－1)<f(2). 答案：< 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [典例]　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减. [证明]　设∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为2<x1<x2， 所以x2－x1>0，x>4，x>4. 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减. [方法技巧]　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 [针对训练] 试用函数单调性的定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数. 证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)<f(x2).所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数. 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [典例]　画出函数f(x)＝