1.3.1 不等式的性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

3.1　不等式的性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解不等式的基本事实，会用作差法比较两实数(代数式)大小. 2.通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式. 3.运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件. (一)不等式的基本事实 作差法比较两实数(代数式)大小 基本事实 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 [基点训练] 1.下列说法正确的为(　 ) A.x与2的和是非负数，可表示为“x＋2>0” B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y” C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b>c且a＋c>b且b＋c>a” D.若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t可表示为“7 ℃<t<13 ℃” 解析：选C　对于A，应表示为“x＋2≥0”；对于B，应表示为“x<y”；对于D，应表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，故A、B、D错误. 2.若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是________. 解析：因为x－2－(2x－2)＝－x>0，所以x－2>2x－2. 答案：x－2>2x－2 (二)不等式的性质 1.等式的基本性质 性质 性质内容 1 如果a＝b，那么b＝a 2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 3 如果a＝b，那么a±c＝b±c 4 如果a＝b，那么ac＝bc 5 如果a＝b，c≠0，那么＝ 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 如果a>b，且b>c，那么a>c 不可逆 2 可加性 如果a>b，那么a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc c的 符号 4 同向可加性 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 同向 5 可乘性 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； 如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd. 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2 是否 变号 6 可开方性 当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2 同正 3.不等式中常用的二级结论 (1)a>b，c<d⇒a－c>b－d. (2)a＋c>b⇒a>b－c. (3)a>b>0，d>c>0⇒>. (4)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (5)a>b，n∈N*，n>1且n为奇数⇒an>bn，>. (6)a>b>0，c>0⇒>. 微点助解 (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.注意传递性是有条件的！ (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性.性质2是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的. (3)性质2是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.即a＋b>c⇒a>c－b.性质2是可逆的，即a>b⇔a＋c>b＋c. [基点训练] 1.判断正误： (1)若>1，则a>b.(　 ) (2)a与b的差是非负实数， 可表示为a－b>0.(　 ) (3)∀x∈R，都有x2>x－1.(　 ) (4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.(　 ) (5)a，b，c为实数，若ac2>bc2，则a>b.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2.与a>b等价的不等式是(　 ) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.>1 D.a3>b3 解析：选D　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1，故A、B、C都不正确. 3.已知a<0<b，则下列不等式恒成立的是(　 ) A.a＋b<0 B.<1 C.>1 D.> 答案：B 题型(一)　实数(式)的比较大小 [典例]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小. [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵x≤1，∴x－1≤0.而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. [变式拓展]　 　把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小. 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴