2.4.1 函数的奇偶性（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题. 课时目标 4.1　函数的奇偶性(强基课—梯度进阶式教学) 01 02 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1.偶函数、奇函数的定义   奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且______________，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且___________，那么称函数f(x)为偶函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 图象特点 关于______对称 关于_____对称 奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有_________ 定义域特征 关于_____对称 原点 y轴 奇偶性 原点 续表 2.偶函数、奇函数的图象特征 (1)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以______为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_____对称，则这个函数是偶函数. (2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以______为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. y轴 y轴 原点 原点 微点助解 对函数奇偶性的理解 (1)奇、偶函数的对应关系的特点 (2)函数奇偶性的三个关注点 ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. (3)利用性质判断函数的奇偶性 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 基点训练 1.判断正误： (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数.(　 ) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　 ) (3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(　 ) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　 ) 答案：B　 解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性. 3.下列函数是偶函数的是(　 ) A.y＝x B.y＝3x2 C.y＝x－1 D.y＝|x|(x∈[0,1]) 答案：B　 解析：选项A、C中的函数是奇函数，选项B中的函数是偶函数，选项D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数. 4.已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　 ) A.－1 B.0 C.1 D.无法确定 答案：C　 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a－1＝0，即a＝1. 题型(一)　函数奇偶性的判断 [典例]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； [解]　(1)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}， 关于原点对称，且f(x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x). 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]， 即有－1≤x≤1且x≠0， 所以－1≤－x≤1，且－x≠0. (4)易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数. [方法技巧]　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 针对训练 解：(1)函数f(x)的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数. (2)函数f(x)的定义域是R. ∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于