【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015学年数学人教选修2-2精讲讲义+课后练习：导数的概念及其几何意义（3份，含解析）

学科：数学 专题：导数的概念及几何意义 求过点（2，0）且与曲线y= 相切的直线的方程． 点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A．[0, ] B．[0, )∪[ , π) C．[ , π) D．( , ] 过曲线y＝x3+x-2上的点P0的切线平行于直线y＝4x-1,则切点P0的坐标为( )． A．(0, -1)或(1, 0) B．(1, 0)或(-1, -4) C．(-1, -4)或(0, -2) D．(1, 0)或(2, 8) 已知函数 的图象是折线段 ，其中 、 、 ，函数 （ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 ． 设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·x2012的值为________． 已知曲线S:y＝3x-x3及点P（2，2）． (1)求过点P的切线方程； (2)求证：曲线S与点(x0,y0)(x0≠0)的切线至少还有一个交点． 已知函数f(x)＝x3－x．[来源:学科网ZXXK] (1)求曲线y＝f(x)过点(1,0)的切线方程； (2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值范围． 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”有怎样的区别与联系？ 课后练习详解 答案：x+y－2=0． 详解：设所求切线与曲线的切点为P(x0, y0) ∵y′=－ ,∴y′ =－ ，所求切线的方程为y－y0=－ (x－x0) ∵点（2，0）在直线上，∴0－y0=－ (2－x0) ∴x02y0=2－x0 ① 又x0y0=1 ②， 由①②解得 ∴所求直线方程为x+y－2=0． 答案：B． 详解：∵y′＝3x2-1,故导函数的值域为[-1，+∞)．∴切线的斜率的取值范围为[-1,+∞)． 设倾斜角为α,则tanα≥-1．∵α∈[0,π)，∴α∈[0, )∪[ ,π)． 答案：B． 详解：∵y′＝3x2+1,令y′＝4,即3x2＝3．∴x＝±1．∴P0为(1, 0)或(-1, -4)． 答案： ． 详解：根据题意，得到 ，[来源:学*科*网] 从而得到 所以围成的面积为 ， 所以围成的图形的面积为 ． 答案：． 详解：∵y′＝(n＋1)xn ∴曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)， 即y＝(n＋1)x－n， 令y＝0得xn＝ ，∴． 答案：(1) y＝2, y-2＝( )(x-2)和y-2＝( )(x-2)．(2)见详解． 详解：(1)设切点为M(x1, y1)， ∵y＝3x-x3,∴y′＝3-3x2．∴在点M处的切线斜率为k＝3-3x12． ∴ ．∴ ． 整理,得x13-3x12+2＝0．∴(x1-1)(x12-2x1-2)＝0．∴x1＝1或 ． ∴斜率分别为0, 和 ． ∴切线方程分别为y＝2,y-2＝( )(x-2)和y-2＝( )(x-2)． (2)证明：y′＝3-3x2,∴在(x0,y0)处的切线斜率为3-3x02． ∴切线方程为y-y0＝(3-3x02)(x-x0)． 代入曲线y＝3x-x3，得：3x-x3-(3x0-x03)＝(3-3x02)(x-x0)． ∴x3-3x02x+2x03＝0．∴(x-x0)2(x+2x0)＝0．∴x＝x0或x＝-2x0． ∵x0≠0 ∴切线与S至少还有一个交点,其横坐标为-2x0．[来源:学科网ZXXK] 答案：(1) y＝2x－2或y＝－；(2) (－∞，－1)∪(1，＋∞)．x＋ 详解：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1．曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，即y＝(3t2－1)·x－2t3， 将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－， 代入y＝(3t2－1)x－2t3 得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－． x＋ (2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实数根． 记g(t)＝2t3－3at2＋a，则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)． 当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1； 当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；[来源:Zxxk.Com] 当a<0时，函数g(t