【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015学年数学人教选修2-2精讲讲义+课后练习：导数综合（一）——恒成立问题（3份，含解析）

导数综合（一）——恒成立问题课后练习（一） 主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师 题1： 已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间；[来源:学|科|网Z|X|X|K] （Ⅱ）设 ，若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 题2： 已知函数（）． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，设，若存在,，使， 求实数的取值范围．为自然对数的底数， 题3： 已知函数． （I）求函数的单调递减区间； （II）若在上恒成立，求实数的取值范围； （III）过点作函数图象的切线，求切线方程． 题4： 设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3． (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)如果对任意的s，t∈都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． [来源:Zxxk.Com] 题5： 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ． (Ⅰ)若 ，求曲线 在 处切线的斜率；[来源:学.科.网] (Ⅱ)求 的单调区间； (Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围． 题6： 已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ， ． （1）求函数 的单调区间和值域． （2）设 ，函数 EMBED Equation.DSMT4 ， ，若对于任意 ，总存在 使 成立，求实数 的取值范围． [来源:学科网ZXXK] 导数综合（一）——恒成立问题 课后练习参考答案 题1： （Ⅰ）单调递增区间是 ；单调递减区间是 ；（Ⅱ） ． 详解：（I） ， 由 及 得 ；由 及 得 ， 故函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 （II）若对任意 ， ，不等式 恒成立， 问题等价于 ，由（I）可知，在 上， 是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以 ； 当 时， ； 当 时， ；当 时， ； 问题等价于 或 或 解得 或 或 即 ，所以实数 的取值范围是 ． 题2： （Ⅰ）当时，的减区间为 ，增区间为．当时，的减区间为．当时，的减区间为，，增区间为；（Ⅱ）． 详解：（Ⅰ），． 令 ①当时，,的减区间为 ，增区间为． ②当时， 所以当时，在区间上单调递减． 当时，， ， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当 时，单调递减， 所以当时，的减区间为 ，增区间为． 当时，的减区间为． 当时，的减区间为， 增区间为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上的最大值为， 令，得时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在上的最小值为， 由题意可知，解得 ，所以 题3： （Ⅰ）函数的单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 详解：（Ⅰ）得 函数的单调递减区间是； （Ⅱ）即 设则 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是； （Ⅲ）设切点则即 设，当时是单调递增函数 最多只有一个根，又 由得切线方程是． 题4： (1) x＋y－3＝0；(2) 4；(3) a ≥ 1． 详解：(1)当a＝2时，f(x)＝＋ln x＋1，f(1)＝2，f ′(1)＝－1，＋xln x，f ′(x)＝－ 故y－2＝－(x－1)．所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0． (2)存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于：[g(x1)－g(x2)]max≥M， g(x)＝x3－x2－3，g′(x)＝3x2－2x＝3x， x 0 2 g′(x) － 0 ＋ g(x) －3 递减 极(最)小 值－ 递增 1 由上表可知：g(x)min＝g，g(x)max＝g(2)＝1， ＝－ [g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝，所满足条件的最大整数M＝4． (3)对任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立． 等价于：在区间上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值， 由(2)知，在区间上，g(x)的最大值为g(2)＝1．∴f(x)min≥1． 又∵f(1)＝a，∴a≥1．下面证当a≥1时，在区间上，函数f(x)≥1成立． 当a≥1且x∈＋xln x，＋xln x≥时，f(x)＝ 记h(x)＝＋ln x＋1，h′(1)＝0， ＋xln x，h′(x)＝－ 当x∈＋ln x＋1<0； 时，h′(x)＝－ 当x∈(1,2]时，h′(x)＝－＋ln x＋1>0， 所以函数h(x)＝上递减，在区间(1,2]上递增，＋xln x在区间 h(x)min＝h(1)＝1，即h(x)≥1， 所以当a≥1且x∈都有f(s)≥g(t)． 时，f(x)≥1成立，即对