【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015学年数学人教选修2-2精讲讲义+课后练习：导数的应用——判断单调性（3份，含解析）

学科：数学 专题：导数的应用——判断单调性 判断下列命题的正误 (1)y＝xlnx在(0，5)上是单调递增函数．(　　) (2)函数f(x)＝x－有极值．(　　) (3)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．(　　) (4)当a≥－1时，f(x)＝2ax－，x∈(0，1]是增函数．(　　) 函数f (x)＝sinx－cosx＋x＋1, 0<x<2π，求函数f (x)的单调区间与极值． 定义在区间[0，a]上的函数f(x)的图象如图所示，记以A(0，f(0))，B(a，f(a))，C(x，f(x))为顶点的三角形面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S ‘(x)的图象大致是(　　) 设 是定义在R上的奇函数，且 ，当 时，有 恒成立，则不等式 的解集是（ ）． A． B． C． D． 已知函数 ，曲线 在点（1， ）处的切线方程为 ． （1）求 ， 的值；（2）证明：当 ＞0，且 时， ＞ ． 已知函数f(x)＝ex＋ax2－ex，a∈R． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间； (2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P． 已知函数f(x)＝x3＋mx2－3m2x＋1(m>0)． (1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若函数f(x)在区间(2m－1，m＋1)上单调递增，求实数m的取值范围． 课后练习详解 答案：错误；错误；正确；正确． 详解: (1)要特别注意函数的定义域，函数的定义域为(0，＋∞)．因为y ‘＝lnx＋1，令y ‘>0，得x>． ；令y ‘<0，得0<x< 所以函数y＝xlnx在上是增函数．上是减函数，在 (2)f ‘(x)＝1＋>1，所以f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递增函数，没有极值．[来源:学科网ZXXK] (3)f ‘(x)＝sinx＋xcosx，令f ‘(x)＝0，当cosx≠0时，有tanx＝－x，作出函数y＝tanx与y＝－x的图象(图略)，可知方程tanx＝－x有无数个解，所以函数f(x)＝xsinx有无数个极值点． (4)f ‘(x)＝2a＋≥2，又a≥－1，所以f ‘(x)≥－2＋2＝0，所以f(x)在(0，1]上是增函数．在(0，1]上是减函数，所以，因为y＝ 答案：单调区间f (x)的单调递增区间是(0，π)和，极大值为f (π)＝π＋2． ＝；极小值为f ，单调递减区间是 详解:由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，知f ‘(x)＝1＋．[来源:Zxxk.Com]sin 令f ‘(x)＝0，从而sin，当x变化时，f ‘(x)，f (x)变化情况如下表： ，得x＝π或x＝＝－ x (0，π) π f ‘(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ( π＋2 ( π ( 因此，由上表知f (x)的单调递增区间是(0，π)和，极大值为f (π)＝π＋2． ＝，极小值为f ，单调递减区间是 答案：D． 详解: 由于AB的长度为定值，只要考虑点C到直线AB的距离的变化趋势即可．当x在区间[0，a]变化时，点C到直线AB的距离先是递增，然后递减，再递增，再递减，S ‘(x)的图象先是在x轴上方，再到x轴下方，再回到x轴上方，再到x轴下方，并且函数在直线AB与函数图象的交点处间断，在这个间断点函数性质发生突然变化，所以选项D中的图象符合要求． 答案：D． 详解：当 时， 即 ，令 ， 则函数 在区间 上为减函数，又 在定义域上是奇函数， 函数 在定义域上是偶函数，且 ， 则 在 上的解集是 ． 函数 是定义域上的奇函数，则 的解集是 ． 答案：见详解． 详解:(1)略 ， ． （2）证明：由（1）知 ，所以 = ． 考虑函数 =2 （ ＞0），则 = = ． 所以当 时， ＜0，而 EMBED Equation.3 ，故 当 ∈（0，1）时， ＞0，可得 ＞0； 当 ∈（1，+∞）时， ＜0，可得 ＞0． 从而当 ＞0，且 时， ＞ ． 答案：(1)f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；(2)a＜0． 详解: (1)由于f ‘(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率k＝2a＝0，[来源:Z§xx§k.Com] 所以a＝0，即f(x)＝ex－ex．此时f ‘(x)＝ex－e，由f ‘(x)＝0得x＝1． 当x∈(－∞，1)时，有f ‘(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，有f ‘(x)>0． 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)设