【北京特级教师 同步复习精讲辅导】2014-2015学年数学人教选修2-2精讲讲义+课后练习：数学归纳法（2份，含解析）

数学归纳法 主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师 引入 数学归纳与归纳有什么区别？ [来源:学&科&网] 重难点易错点解析 题一：证明 ． 题二：证明3n≥2n+1． 金题精讲 题一：已知 ，求 ． [来源:Z。xx。k.Com] 题二：若n∈N+，求证： ．[来源:Zxxk.Com] 题三：证明 ． 学习提醒 工具很有力，格式是前提[来源:Z。xx。k.Com] 数学归纳法 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一：证明略[来源:学*科*网Z*X*X*K] 题二：证明略 金题精讲 题一：证明略 题二：证明略 题三：证明略 $$ 数学归纳法课后练习 主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师 题1： 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥3)． 题2： 求证： ． 题3： 用数学归纳法证明不等式：1＋(n∈N*)． ＜2＋…＋＋ 题4： 设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2，3，… (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；[来源:Z,xx,k.Com] (2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2． [来源:Zxxk.Com] 题5： 在数列 中， ，求数列 的通项公式． [来源:Zxxk.Com] 题6： 数列{an} 满足 Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)计算 a1，a2，a3，a4并由此猜想通项 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 题7： 设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2，…)． (1)证明：an＞对一切正整数n都成立； (2)令bn＝(n＝1,2，…)，判断bn与bn＋1的大小，并说明理由． 题8： 数列 中， EMBED Equation.3 ， 用数学归纳法证明： ． 题9： 设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0．证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有 ． ＝ ＋…＋＋ 题10： 是否存在常数a、b、c，使等式 对一切正整数n都成立？ 证明你的结论． 数学归纳法 课后练习参考答案 题1： 见详解． 详解：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n＝3时，f (3)＝0，命题成立． (2)假设n＝k (k≥3)时，命题成立，即f(k)＝k(k－3)，则当n＝k＋1时，凸k边形由原来的k个顶点变为k＋1个顶点，对角线条数增加k－1条． ∴f (k＋1)＝f (k)＋k－1＝(k＋1)[(k＋1)－3]． k (k－3)＋k－1＝ ∴当n＝k＋1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何n∈N且n≥3，命题恒成立． 题2： 见详解． 详解：(1)当n=1时，左端=1 ，右端= ，左端=右端，等式成立； (2)假设n=k时，等式成立，即 ，则 所以，当n=k+1时，等式仍然成立． 由(1)(2)可知，对于 等式依然成立． 题3： 见详解． 详解：证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立， ②假设n＝k (k∈N*)时，不等式成立，即1＋．[来源:学科网]＜2＋…＋＋ 那么当n＝k＋1时，1＋ ＋＋…＋ ＋ ＜2＝ ＋ ＜．＝2＝ 这就是说，当n＝k＋1时，不等式成立． 由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立． 题4： （1）a2＝3，a3＝4，a4＝5，an＝n＋1(n≥1)；（2）见详解． 详解：(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a32－3a3＋1＝5， 由此猜想an的一个通项公式：an＝n＋1(n≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明： ①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k＋2， 那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2． 根据①和②，对于所有n≥1，都有an≥n＋2． 题5： ． 详解： EMBED Equation.3 猜想 ． 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时， ，猜想成立． （2）假设当n=k时猜想成立，则 ． 当n=k+1时猜想也成立． 综合（1）（2），对 猜想都成立． 题6： (1)a1＝1，a2＝(n∈N*)；（2）见详解．，猜想 an＝，a4＝， a3＝ 详解：(1)a1＝1，a2＝(n∈N*)．[来源:Zxxk.Com]，由此猜想 an＝，a4＝， a3＝ (2)证明：当n＝1时，a1＝1, 结论成立． 假设 n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝， 那么 n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1． ∴ak＋1＝，这表