专题04 圆的方程及圆的位置关系（14大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 圆的方程及圆的位置关系 知识点1 圆的方程 1、圆的标准方程 （1）定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 （2）确定圆的基本要素是：圆心和半径 （3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 （4）几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 2、圆的一般方程 （1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. （2）圆的一般方程的形式特点：①项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；②不含项；③ （3）一般方程与标准方程关系：对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： ①当时，方程只有实数解.它表示一个点. ②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 3、点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆A上 或 点在圆A内 或 点在圆A外 或 4、轨迹与轨迹方程 （1）轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. “轨迹”与“轨迹方程”有区别： ①“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； ②“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。 2、坐标法求轨迹方程的步骤 第一步建系：建立适当的平面直角坐标系； 第二步设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； 第三步列式：列出关于的方程； 第四步化简：把方程化为最简形式； 第五步证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 知识点2 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 ①直线与圆相离无交点； ②直线与圆相切只有一个交点； ③直线与圆相交有两个交点. （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： ①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； ②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 2、直线与圆相交时的弦长求法： （1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： （2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 3、直线与圆相切时的切线问题 （1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 （2）求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 知识点3 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系判断 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 2、两圆的公切线 （1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； （2）两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 （3）两圆公切