期中复习02 空间向量研究直线、平面位置关系-2023-2024学年高二数学上学期期末专项复习（人教A版2019选择性必修第一册）

期中复习专题02：空间向量研究直线、平面位置关系解析版 考点一：空间向量的坐标运算 【知识点梳理】 1.空间直角坐标系：轴上点坐标、面上点坐标、空间上点坐标. 2.空间向量的坐标运算 （1）由两点写出空间向量：若，则 （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①; ②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【典例例题】 例1. （2022·浙江台州市期中）设，向量，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 【变式训练】 1. （2022·浙黑龙江佳木斯第一中学期中）已知点，，则线段的中点的坐标为（     ） A. B. C. D. 2.（2022·浙黑龙江佳木斯第一中学期中）若，点的坐标为，则点的坐标为___________． 3. （2022·浙黑龙江佳木斯第一中学期中）若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________. 4. （2022·浙江绍兴市第二中学期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ） A B. C. D. 5. （2022乌鲁木齐第一中学期中）点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. （2022·广东实验附属中学期中）（多选）如图，在长方体中，AB＝5，AD＝4，，以直线DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A. 点的坐标为 B. 点B关于点对称的点为 C. ， D. 点关于x轴对称的点为 7. （2022·湖北省高中联考期中）试写出一个点的坐标：______，使之与点，三点共线. 8.（2022·山东省淄博市实验中学期中）已知向量，，且与互相垂直，则_______. 考点二：空间向量研究直线、平面平行位置关系 【知识点梳理】 1、 直线的方向向量：与这条直线平行(或共线)的向量，记作；或者已知直线上两点坐标，即方向向量. 2、平面的法向量：若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作,有无数多个，且任意两个都是共线向量. 3、平面法向量的求法：设平面的法向量为， 在平面内找出（或求出）两个不共线的向量， 根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量. 4、利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 平行 线线（与） 线面（与） 面面（与） 【典例例题】 例1. （2021秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)若P为侧棱SD上的中点，证明SB平面PAC． (2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【变式训练】 1. （2022·黑龙江佳木斯第一中学期中）已知，，，则下列结论正确的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. 以上都不对 2. （2022·浙江绍兴市第二中学期中）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则直线与平面的位置关系是（ ） A. 或 B. C. 与相交但不垂直 D. 3. （2022·山东省淄博市实验中学期中）（多选）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面，，为的中点，过作平面分别与线段、交于点、，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的面积为 4.（2023·全国·高二专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 5.（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.求证：平面；      6.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 考点三：空间向量研究直线、平面垂直位置关系 【知识点梳理】 利用空间向量表示空间线面平行、垂直 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. 位置关系 垂直 线线（与） 线面（与） 面面（与） 【典例例题】 例1. （2022·湖北省省部高级中学期中）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与的位置关系不能判断 例2.（2022秋·广东·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点. (1)求证：；