【上海高一数学复习备考】专题01 集合及其运算（考点归纳+13类题型归纳+通关题组）-【题型归纳复习】2023-2024学年高一数学上学期章节核心考点·拓展提升（沪教版2020必修第一册）

专题01 集合及其运算 数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分；使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系；集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础； 集合是高考的必考内容，一般以填充题、选择题的形式出现，试题较为基础，命题的热点为集合元素的性质、集合间关系与基本运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查；这里，结合教材知识结构的布局与教学、考查要求，对与集合有关的重要考点、相关的数学方法等进行例析与注解； 1、集合的概念与表示： （1） 集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征.常用数集有等； （2）空集是不含任何元素的集合； （3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间等； 2、集合的关系与运算： （1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合； （2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作； （3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作； 题型1、集合中元素的性质的应用 例1、已知集合A中有三个元素：a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a及集合A中的元素； 【提示】； 【解析】； 【说明】利用集合元素的特征解决问题时，应特别注意集合元素的互异性以及分类讨论思想的应用． 集合中元素的特性是什么？ 【答案】1、确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．如：“世界上面积很小的国家”不能构成集合，因为“很小”标准不明确；2、互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素；3、无序性：集合中的元素与顺序无关．如：集合{2,3,5,7}与集合{7,5,2,3}表示同一集合； 题型2、明确集合中元素的属性 例2、（1）已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N为(　　) A．{x＝3，y＝－1} B．{(x，y)|x＝3或y＝－1} C．∅ D．{(3，－1)} 【提示】； 【答案】； 【解析】； （2）集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，集合N＝{(x，y)|y＝x2，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为 【答案】； 【解析】 【说明】遇列举法、描述法表示的集合时，务必仔细观察代表元素的形式和意义，分清数集、点集； 对于含有无限个元素的集合，常用描述法表示；使用描述法表示集合应注意的问题： （1）写清楚该集合的代表元素，如数或点等；（2）说明该集合中元素的共同属性；（3）不能出现未被说明的字母；（4）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确； 【经典测试】辨明下列四个集合中，元素分别是什么？ 1、A＝{x|y＝x2＋1}； 2、B＝{y|y＝x2＋1}； 3、C＝{(x，y)|y＝x2＋1}； 4、P＝{y＝x2＋1}； 【解析】 题型3、由集合关系求字母的取值范围 例3、已知A＝{x|a－4<x<2a}，B＝{x|x<－1或x>5}，且A⊆B．求a的取值范围． 【说明】1、析集合关系时，首先要分析、简化每个集合；2、解不等式组时通常借助数轴．尤其要注意是否包含端点值；3、要注意分类讨论的思想；4、注意检验空集是否符合题意； 题型4、图形语言与集合语言的转换 例4、（1）图中阴影部分所表示的集合是（ ） A．B∩[∁U(A∪C)] B．(A∪B)∪(B∪C) C．(A∪C)∩(∁UB) D．[∁U(A∪C)]∪B （2）已知全集U＝{x |x<9，x∈N，x≥1}，(∁UA)∩B＝{1,6}，A∩(∁UB)＝{2，3}，∁U(A∪B)＝{5，7，8}，则B＝(　　) A．{2，3，4} B．{1，4，6} C．{4，5，7，8} D．{1，2，3，6} 【说明】　并集、交集、补集的关系的图示“解读” （1）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)(如图所示) （2）∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)(如图所示) （3）对于元素个数的计算问题，可参照下图，其中U为全集： 区域①，②，③，④分别表示：∁U(A∪B)，A∩(∁UB)，A∩B，B∩(∁UA); 题型5、对空集的理解与应用 例5、（1）已知A＝{x|(m－1)x＋