专题02 集合之间的关系七大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020高一必修第一册

专题02 集合之间的关系 题型一：判断集合的包含关系 题型二：判断子集（真子集）的个数 题型三：求集合中子集（真子集） 题型四： 空集的概念集判断与辨析 题型五：空集的性质及应用 题型六：根据两个集合相等求参数 题型七：根据集合的包含关系求参数 题型一：判断集合的包含关系 1．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 2．集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 3．以下关系式错误的有几个（   ） ①；②；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（    ） A． B． C． D． 题型二：判断子集（真子集）的个数 6．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 7．记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 8．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型三：求集合中子集（真子集） 10．写出所有满足的集合 11．设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 12．已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 13．已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 14．设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 15．写出所有满足的集合M． 题型四： 空集的概念集判断与辨析 16．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 17．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 18．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 题型五：空集的性质及应用 20．若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是 ． 21．已知集合，若，则实数a的取值范围为 ． 22．若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 23．＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}，求a的取值范围． 题型六：根据两个集合相等求参数 24．已知集合，若，则的值是 . 25．已知集合，，且，则的值为 ． 26．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 28．已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 题型七：根据集合的包含关系求参数 29．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 30．已知集合，，若，则由的值构成的集合为 . 31．已知集合，，且，则实数a的范围是 ． 32．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 35．已知集合，，且，求实数m的取值范围. 36．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合之间的关系 题型一：判断集合的包含关系 题型二：判断子集（真子集）的个数 题型三：求集合中子集（真子集） 题型四： 空集的概念集判断与辨析 题型五：空集的性质及应用 题型六：根据两个集合相等求参数 题型七：根据集合的包含关系求参数 题型一：判断集合的包含关系 1．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为 （填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 2．集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断． 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 3．以下关系式错误的有几个（   ） ①；②；③；④；⑤； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据空集定义，元素与集合的关系，子集定义逐一判断即可. 【详解】对①，不含任何元素，所以，错误； 对②，是任何集合的子集，所以，正确； 对③，0是自然数，所以，正确； 对④，根据子集定义可知，任何集合都是它自己的子集，正确； 对⑤，的元素是，的元素是0，两集合不存在包含关系，错误. 故选：B 4．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的所属范围确定两集合的关系即可. 【详解】因为当时，为奇数，为整数， 所以集合A是集合B的真子集， 故选：B. 5．已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过整理集合中的表达式，由此确定正确答案. 【详解】∵， ， ， 因为，所以， ∴. 故选：B. 题型二：判断子集（真子集）的个数 6．已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【答案】7 【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得. 【详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 7．记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于 . 【答案】 【分析】列举出所有满足条件的集合，即可得出所有之和. 【详解】因为集合，，分别列举出满足条件的集合 （1）若集合只有一个元素，则集合为：、、、、； （2）若集合有两个元素，则集合为：、、、、 、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （3）若集合有个元素，则集合为：、、、 、、、、、、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （4）若集合有个元素，则集合为：、、、 、， 在这些集合中，、、、、每个数都出现次； （5）若集合有个元素，则. 综上所述，所有之和为. 故答案为：. 8．若全集，则集合A的真子集共有 个． 【答案】7 【分析】根据真子集的计算公式计算即可. 【详解】，所以真子集． 故答案为：7. 9．满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 10．已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】利用集合子集的概念及题意一一列举即可. 【详解】若M有一个元素，则； 若M有两个元素，则； 若M有三个元素，则 ∴满足题意的集合M的个数为6个. 故选：B. 题型三：求集合中子集（真子集） 11．写出所有满足的集合 【答案】 【分析】根据包含关系写出所有可能得集合即可. 【详解】由题设集合的包含关系知：是的真子集， 所以集合可能为. 故答案为： 12．设集合，若非空集合A同时满足：①，②，（其中|A|表示A中元素的个数，min（A）表示集合A中最小的元素），称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为 ． 【答案】27 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】根据题意，满足集合A为I的一个好子集的情况共有以下四种： ①当，即集合A中元素的个数为1时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ②当，即集合A中元素的个数为2时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; ③当，即集合A中元素的个数为3时，集合A的可能情况为 所以集合A的个数为; ④当，即集合A中元素的个数为4时，集合A的可能情况为，所以集合A的个数为; 所以I的所有好子集的个数为. 故答案为：27. 【点睛】关键点睛：本题重点在于对新定义“好子集”的理解，分类讨论，进行求解. 13．已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【答案】，，，，，， 【分析】利用集合间的包含关系求解，按集合的元素个数由少到多进行列举． 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 14．已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 【答案】320 【分析】判断各子集中，每个元素出现的次数，可计算子集中元素和的总和. 【详解】集合，的所有非空子集数为个， 其中，单元素集合中只有含有元素2，2出现了1次， 双元素集合含有2的有，2出现了4次， 三元素集合含有2的有，2出现了6次 四元素集合含有2的有，2出现了4次 五元素集合含有2的有，2出现了1次， 故2出现了次， 同理，其它元素也都出现了16次， 所以各子集元素和的总和为. 故答案为：320 15．设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意写出的所有非空子集，结合“容量”的定义求S的所有非空子集的“容量”之和. 【详解】由题设，的非空子集有 ， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为， 所以S的所有非空子集的“容量”之和为. 故答案为： 16．写出所有满足的集合M． 【答案】 【分析】根据真子集的含义即可. 【详解】满足条件的集合有： . 题型四： 空集的概念集判断与辨析 17．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 18．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【答案】0 【分析】由题意可得 A是空集 即可求解. 【详解】集合，只有一个子集， 则，， 所以方程无解，即． 故答案为：0． 19．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 20．下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 题型五：空集的性质及应用 21．若集合{x∈R|a－1≤x≤5－2a}为空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合为空集列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由已知，得a－1>5－2a，解得a>2，所以实数a的取值范围是． 故答案为： 22．已知集合，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】． 【解析】分和两种情况讨论，分别求得满足题意的a的范围，综合即可得答案. 【详解】当时，方程化为，解得，此时，满足题意， 当时，要使，则，解得且， 所以使的实数a的取值范围为． 故答案为：． 23．若关于x的方程的解集是空集，求k的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求． 【详解】方程整理得， 当时，方程的解集为空集，显然成立； 当时，有，解方程得,显然不符合题意． 综上． 故选：C． 24．＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}，求a的取值范围． 【答案】a≤0． 【解析】转化为关于x的方程ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解可求得结果. 【详解】因为＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0，x∈R}， 所以关于x的方程ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解， ①当a＝0时：无解，符合题意， ②当a≠0时：△＝4a2﹣4a（a﹣1）＜0，解得：a＜0， 综上所述：a≤0． 题型六：根据两个集合相等求参数 25．已知集合，若，则的值是 . 【答案】或 【分析】根据集合相等则集合中的元素相等即可求解. 【详解】解：， ，或， 解得：或， 故或. 故答案为：或. 26．已知集合，，且，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】由集合相等列出等式,求解，再结合互异性即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：或 当时，=，符合； 当时，=，符合； 故答案为：0或 27．已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据方程的解是任意实数，即可得求解. 【详解】，即关于的方程的解是任意实数， 则所以所以. 故选：B. 28．设，若，则（    ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由集合相等，建立方程组求解即可． 【详解】，且， 易知，解得，即. 故选：C． 29．已知集合，集合,1,． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，，使 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）由题意可得，或，解得或，再结合元素的互异性，即可求解． （2）分，讨论，即可求解． 【详解】（1）由题意可得，或，解得或， 当时，,1,不成立， 当时，,,成立， 故． （2）由题意可得，， 若，则，,7,，不合题意， 若，则，，不合题意， 故不存在实数，，使得． 题型七：根据集合的包含关系求参数 30．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式求结论即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以． 故答案为： 31．已知集合，，若，则由的值构成的集合为 . 【答案】 【分析】先解方程得集合A，再根据，最后根据包含关系求实数，即得结果. 【详解】因为集合， 因为，当时，， 当时，即时，令，解得，则或， 则对应实数的值为，综上，由的值构成的集合为. 故答案为：. 32．已知集合，，且，则实数a的范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，讨论集合A分别求参数a的范围，注意验证是否符合题设，进而取并集. 【详解】由，讨论集合A如下： 当时，，可得； 当时，，可得，此时符合题意； 当时，，可得，此时不合题意； 当时，，故不成立； 综上，. 故答案为： 33．已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系直接得到答案. 【详解】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 34．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【详解】集合，，由，得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 35．若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】将集合化简，再由可得或或或，分别代入计算，即可求解. 【详解】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 36．已知集合，，且，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】分，讨论即可得解. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，由可知， 解得. 综上，实数m的取值范围为. 37．（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）分与计算即可得； （2）由题意可得的所有可能，再分类逐个计算并判断即可得. 【详解】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或，   当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$