专题04 余弦定理、正弦定理-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

余弦定理、正弦定理 目录 题型一： 利用正、余弦定理解三角形 4 题型二： 利用正、余弦定理判断三角形形状 5 题型三： 与三角形面积有关的问题 7 题型四： 最值或范围问题 8 题型五： 正弦定理、余弦定理的应用 9 知识点总结 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 常见 变形 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝ 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长． 3．常用定理 (1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos； cos＝sin. (2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A． (3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．即若AD为∠A的平分线，则有比例关系：＝. 4．重要关系 (1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sin A>sin B ⇔cos A<cos B． (2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c⇔2sin B＝sin A＋sin C． 5．解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似． (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比． 6．解三角形的应用问题的要点 (1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素； (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解． 例题精讲 利用正、余弦定理解三角形 【要点讲解】(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.  (2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解. (3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. 的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　 A． B． C．2 D．3 设的内角，，的对边分别为，，．若，，．且，则　　 A． B．2 C． D．3 在中，，，，则　　 A． B． C． D． 的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 在中，，边上的高等于，则等于　　 A． B． C． D． 在中，，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 在中，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求边上的高． 利用正、余弦定理判断三角形形状 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 在中，若，则的形状为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 若在中，，则的形状一定是　　 A．等腰直角三角形 B．直