专题03 平面向量的数量积及应用-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

平面向量的数量积及应用 目录 题型一： 平面向量数量积的运算 4 题型二： 求平面向量的模 6 题型三： 向量积求范围 9 题型四： 平面向量中的投影 16 题型五： 求平面向量的夹角 18 题型六： 平面向量的垂直问题 20 题型七： 平面向量与三角函数 22 知识点总结 1．向量数量积的定义 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. (3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量的投影 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． (2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 3．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 4．向量数量积运算的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y； |a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)|x1x2＋y1y2|≤. (4)设θ是a与b的夹角，则 cos θ＝＝. 常用结论与知识拓展 1．数量积的有关结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 例题精讲 平面向量数量积的运算 【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 若向量，且，则＝（　　） A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中点，则＝（　　） A． B．5 C．6 D．7 已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　 A． B． C． D． 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ． 在等腰梯形中，已知，，，，点和分别在线段和上，且，，则的值为 ． 求平面向量的模 【要点讲解】(1)定义法：|a|＝； (2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝． 若向量，满足，，，则 ． 已知向量，的夹角为，，，则 ． 已知向量，，则　　 A． B．2 C． D．50 已知正方形的边长为2，点满足，则 ； ． 平面向量与的夹角为，，，则　　 A． B． C．4 D．12 已知向量，满足，，且，则 ． 设，，向量，，，且，，则　　 A． B． C． D．10 向量积求范围 已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最大值为（　　） A．0 B． C． D．3 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 在边长为1的等边三角形中，为线段