专题02 平面向量的基本定理及坐标表示-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

平面向量的基本定理及坐标表示 目录 题型一： 平面向量基本定理及其应用 3 题型二： 平面向量的坐标运算 4 题型三： 平面向量坐标应用 5 题型四： 共线向量坐标表示及其应用 7 题型五： 利用向量求最值问题 8 知识点总结 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标运算 ①平面向量线性运算的坐标表示 假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)． ②向量模的坐标计算公式 如果向量a＝(x，y)，则|a|＝. ③向量坐标的求法 a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. (3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 3．平面向量基本定理的推论 (1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4. (2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (3)平面向量基本定理的推论： ①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点． ②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线⇔存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 常用结论与知识拓展 已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心坐标为. 例题精讲 平面向量基本定理及其应用 【要点讲解】(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量． (2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来． (3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的． 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的　　 A．， B．， C．， D．， 设，是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是　　 A．， B．， C．， D．， 已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（　　） A． B． C． D． 平面向量的坐标运算 【要点讲解】(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； (2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解． 已知，，若，则　　 A． B． C． D． 若向量，，则　　 A． B． C． D． 已知向量，，则　　 A． B． C． D． 已知向量与，且，则　　 A． B． C．1 D．4 如果向量，，那么等于　　 A． B． C． D． 平面向量坐标应用 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则　　 A．2 B． C． D． 已知矩形中，，若，则　　 A． B． C． D． 如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为　　 A． B． C． D．2 在中，点，满足与交于点，若，则　　 A． B． C． D． 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　 A． B． C． D． 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　 A． B． C．4 D．2 如图，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为　　 A．1 B．2 C． D． 中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是　　 A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 设为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若，． （1）求的值； （2）求的取值范围． 共线向量坐标表示及其应用 【要点讲解】)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”