专题01 平面向量的概念及其运算-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

平面向量的概念及其运算 目录 题型一： 平面向量的有关概念 4 题型二： 平面向量的线性运算 5 题型三： 平面向量的线性运算的几何意义 7 题型四： 范围问题 8 题型五： 共线向量定理的应用 9 知识点总结 1．向量的有关概念 名称 定义 说明 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量 平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 2.向量的线性运算 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质) 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 4．向量三角不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形)． 常用结论与知识拓展 (1)首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． (2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)；若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. (3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且，不共线，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1. (4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋. 例题精讲 平面向量的有关概念 下列命题不正确的是（　　） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 下列说法正确的是　　 A．若，，则 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．两个单位向量的长度相等 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得 C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为 下列各命题中，正确的是　　 A．若，则或 B．与非零向量共线的单位向量是 C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量 D．若，则 下列说法中，正确的是　　 ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向； ④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 平面向量的线性运算 【要点讲解】1.平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的:可直接运用相应运算法则求解; (2)含图形的:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等,把未知向量用已知向量表示出来求解. 在正方形中，在上且有，与对角线交于，则　　 A． B． C． D． 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　 A． B．4 C．2 D． 已知、分别是的边，上的中线，且，，则　　 A． B． C． D． 设是单位向量，，，，则四边形　　 A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 设是平行四边形的对角线的交点，则　　 A． B． C． D． 平面向量的线性运算的几何意义 设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则　　 A． B． C． D． 在中，为的中点，，，与交于，，则　　 A． B． C． D． 已知是三角形内部一点，满足，