专题05 复数-2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

复数 目录 题型一： 复数的有关概念 4 题型二： 求复数的值 5 题型三： 与复数的模有关的计算问题 6 题型四： 复数的几何意义 7 题型五： 范围问题 8 知识点总结 1．复数的概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi 共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 2.复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的四则运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i. ②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ③＝＋i(z2≠0)． (2)复数加、减法的几何意义 加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 常用结论与知识拓展 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*. 3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 例题精讲 复数的有关概念 【要点讲解】　解决复数概念问题的常用方法 (1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b. (2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=;③z∈R⇔z2≥0. (3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0. (4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,则z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,则=z. 已知，且，其中，为实数，则　　 A．， B．， C．， D．， 设，其中，为实数，则　　 A．， B．， C．， D．， 已知，，为虚数单位），则　　 A．， B．， C．， D．， 为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于　　 A． B．1 C． D．0 下面四个命题中的真命题为　　 A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数，则 求复数的值 复数满足为虚数单位），则的共轭复数为　　 A． B． C． D． 设复数满足关系：，那么等于　　 A． B． C． D． 的共轭复数　　 A． B． C． D． 已知，则复数　　 A． B． C． D． 复数　　 A． B． C． D． 已知复数是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值． 与复数的模有关的计算问题 【要点讲解】记住以下结论,可提高运算速度. ①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai. 2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法 (1)根据复数的模的