4.5多边形和圆的初步认识讲义2023-2024学年北师大版数学七年级上册

4.5多边形和圆的初步认识讲义北师大版七年级数学上册

基础知识详解

知识点一  多边形的有关概念

内容叙述	多边形定义及其相关概念	由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫多边形
	多边形的边	组成多边形的各条线段叫做多边形的边
	多边形的顶点	相邻两条边的公共端点叫多边形的顶点
	多边形的角	相邻两条边所组成的角叫多边形的内角，简称多边形的角
	多边形的对角线	连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
知识详解	(1)多边形的种类：三角形、四边形、五边形、…有几条边就称为几边形，其中最简单、最基本的是三角形，它是由三条线段首尾顺次相连组成的图形,三角形一般用表示三个顶点的大写字母来表示，三角形用“△”符号简写，如以A,B,C为顶点的三角形表示为“△ABC”，读作“三角形ABC”； (2) 多边形的特征：①多边形是平面图形，教材中所学习的多边形都是凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧；②由不在同一直线上的一些线段组成封闭图形；③组成多边形的各条线段首尾顺次相连； (3)多边形的对角线条数：三角形没有对角线，其余多边形都有对角线，过四边形的一个顶点可作一条对角线，过五边形的一个顶点可作二条对角线，…过n边形的一个顶点可作(n-3)条对角线，n边形的对角线条数共有n(n-3)条；
特别提醒	(1)多边形是一种平面图形，要和立体图形区分开； (2)多边形的表示方法与三角形类似，用表示多边形顶点的大写字母表示，另外应注意按顶点顺时针或逆时针方向依次记出，如六边形ABCDEF不能记作六边形ABDCFE；

出题角度1    多边形的识别

例1, 下面图形中是多边形的有                          。(填写序号)

解析：按定义判断，(3)和(4)中都有弧的连接，不是线段连接;(5)中图形没有封闭；(8)不是平面图形。

答案：(1)(2)(6)(7)

思维点拨：判别多边形时，要紧扣定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。

针对训练1. 如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

出题角度2     多边形的对角线的条数

例2. 四边形共有几条对角线？五边形、八边形呢？

分析：边数较少时，可作图求出；边数较多时，寻找出对角线条数与边数n之间的关系：过其中任一顶点可作(n-3)条对角线，n边形共有n个顶点，但用n(n-3)表示对角线总条数时，每条对角线都重复计算了一次，故对角线总条数为条。

答：四边形共有2条对角线,五边形有5条对角线、八边形有20条对角线。

解题方法：求多边形对角线条数的方法为：边数较少时，可作图求出；边数较多时，利用对角线条数与边数n之间的关系式：对角线总条数为条。

针对训练2． 如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（　　）条对角线．

A．27 B．35 C．40 D．44

 知识点二  正多边形

内容叙述	正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
知识详解	正三角形就是等边三角形，正四边形是正方形,其余正多边形的识别要紧扣定义的两个方面即“边等、角等”；
特别提醒	注意定义中两个条件缺一不可，如菱形四边相等，四角不一定相等，长方形四角相等，四条边不一定相等，它们都不是正四边形；

出题角度         正多边形

例3.观察下面三个平面图形，它们有哪些共同点？

分析：图中三角形的三条边相等，三个角也相等；图中四边形的四条边相等，四个角也相等；图中五边形的五条边相等，五个角也相等；故都是正多边形。

解答：共同点是都是正多边形，每个图形的各条边相等，各个角也相等。

思维点拨：运用观察、度量的方法可以确定这些平面图形中的每个图形的各条边相等，各个角也相等，这些图形都是正多边形，一个正多边形有几条边，就叫正几边形。

针对训练3．下列说法不正确的是（　　）

A．正多边形的各边都相等

B．各边都相等的多边形是正多边形

C．正三角形就是等边三角形

D．六条边都相等且六个角都相等的六边形是正六边形

知识点三  圆、圆弧、扇形、圆心角的概念

内容叙述	圆的定义：平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点称为圆心，这条线段称为半径。
知识详解	（1）圆弧：圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”； (2)扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。 (3)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 (4)拓展：一个圆可以由几条半径分割成若干个扇形，这些扇形的面积和等于圆的面积；一个顶点在圆心的周角等于360°，分成的几个扇形的圆心角的度数和等于这个周角的度数等于360°；
特别提醒	(1)圆心和半径是确定一个圆的两个条件，圆心确定位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可； (2)扇形是由两条半径和一条弧围成的图形，两条直边必须是半径，两直边的交点是圆心。

出题角度1   圆的认识

例4. 如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（　　）

A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1=C2 D．不能确定

解析：首先设出圆的直径，然后表示出半圆的周长与三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．

设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ+a，4个正三角形的周长和C2为：3a，

∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2

答案：B

思维点拨：解题的关键是设出圆的直径并表示出C1和C2．

针对训练4. 学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为符合设计要求的图案是　      　．（将所有符合设计要求的图案序号填上）

出题角度2   求圆心角的度数

例5．如图，圆中两条半径把圆分成面积为4：5的两个扇形，则两个扇形的圆心角的度数为（　　）

A．40°和50° B．80°和100° C．120°和150° D．160°和200°

解析：利用圆周角等于360°，设∠AOB的度数为4x，则另一个角为5x，列方程求解即可．

设∠AOB的度数为4x，则另一个角为5x，由题意得4x+5x=360，解得x=40，

则4x=4×40°=160°，5x=5×40°=200°．

答案：D

思维点拨：知道圆周角的度数为360°，关键明确半径一定，圆心角的度数比等于扇形的面积比．

针对训练5.如图阴影部分扇形的圆心角是（　　）

A．15° B．23° C．30° D．36°

思维误区诊断

误区一    将对角线条数与其分割成的三角形个数混淆

例1.  如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个定点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2003个三角形，那么此多边形的边数为多少？

错解: 此多边形的边数为：2003+3=2006 故是2006边形。

正解: 此多边形的边数为：2003+2=2005 故是2005边形。