第十二章 选考部分-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（旧教材，人教A版）

第1节　坐标系 1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l: ρsin(θ-)=. (1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin(θ-)=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0. (2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,). 2.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(,),半径r=,点P的极坐标为(2,π),过点P作直线l交圆C于A,B两点. (1)求圆C的直角坐标方程; (2)求|PA|·|PB|的值. 解:(1)因为圆C的圆心的极坐标为(,),所以y=sin =1, x=cos =1, 即圆心的直角坐标为(1,1),所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+ (y-1)2=2. (2)点P的极坐标为(2,π),化为直角坐标为P(-2,0).当直线l与圆C相切于点D时, 则|PD|2=|PC|2-r2=(-2-1)2+(0-1)2-()2=8,所以由切割线定理得|PA|·|PB|=|PD|2=8. 3.已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为(3,),曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-). (1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程; (2)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcos θ+ 4ρsin θ= 的距离的最小值. 解:(1)点P的直角坐标为(,). 由ρ=2cos(θ-)得ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 可得曲线C的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1. (2)直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的直角坐标方程为2x+4y-=0. 设点Q的直角坐标为(+cos θ,+sin θ), 则M(+,+), 所以点M到直线l的距离 d===,其中sin= ,cos=, 所以d≥=,当且仅当sin(θ+φ)=-1时,取等号, 所以点M到直线l:2ρcos θ+4ρsin θ=的距离的最小值为. 4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为(x+)2+(y+1)2=4.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2,C3的极坐标方程分别为ρ=2sin θ,ρ=2cos(θ+). (1)若曲线C2,C3相交于异于极点的点Q,求点Q的直角坐标; (2)若直线l:θ=α(ρ∈R)与C1,C2相交于异于极点的A,B两点,求|AB|的最大值. 解:(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,将代入,可得C2的直角坐标方程为x2+y2=2y; 由ρ=2cos(θ+)=2cos θcos-2sin θsin =cos θ-sin θ,得ρ2=ρcos θ-ρsin θ, 将代入,可得C3的直角坐标方程为x2+y2=x-y.联立 解得或所以点Q的直角坐标为(,). (2)由(x+)2+(y+1)2=4,可得x2+y2+2x+2y=0,将 代入, 可得C1的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+2ρsin θ=0,则ρ= -2cos θ-2sin θ. 设A(ρA,α),B(ρB,α),则ρA=-2cos α-2sin α,ρB=2sin α, 所以|AB|=|ρB-ρA|=|4sin α+2cos α|=2|sin α+ cos α|=2|sin(α+β)|(sin β=,cos β=), 因为|sin (α+β)|≤1,所以|AB|=2|sin (α+β)|≤2.故|AB|的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2节　参数方程 1.在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B. (1)若α=,求线段AB的中点的直角坐标; (2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3,0),求|PA|·|PB|的值. 解:(1)由曲线C:(θ为参数),可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.当α=时, 直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-6t-16=0. 得t1+t2=6,所以线段AB的中点对应的t==3,故线段AB的中点的直角坐标为(,). (2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,化简得(cos2α- sin2α)t2+6tcos α+8=0, 则|PA|·|PB|=|t1t2|=||=||,由已知得tan α=2, 故|PA|·|PB|=. 2.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,α∈