第九章 平面解析几何-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（旧教材，人教A版）

第10节　圆锥曲线中的定点问题 1.(2023·浙江绍兴一中模拟预测)已知直线l:y=kx+2与抛物线C: x2=2py(p>0)相交于A,B两点,当k=1时,在C上有且只有三个点到 l的距离为. (1)求C的方程; (2)若点P在直线y=-2上,且BP与y轴平行,求证:直线AP恒过定点. (1)解:由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C相切且切点到直线y=x+2的距离为. 因为y=,所以y′==1,因此切点坐标为(p,),所以=,所以p=1或p=-9(舍去), 所以C的方程为x2=2y. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x2,-2),由 得x2-2kx-4=0,所以Δ>0,且x1+x2=2k,x1x2=-4, 所以kx1x2=-2(x1+x2).又直线AP的方程为y+2=(x-x2),令x=0, 得y+2=. 因为y1=kx1+2,所以y+2===2,所以y=0.故直线AP恒过定点(0,0). 2.(2023·江苏南通模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,)且斜率为1的直线l交双曲线C于A,B两点.且·=3. (1)求双曲线C的标准方程; (2)设Q为双曲线C右支上的一个动点,F为双曲线C的右焦点,在x轴的负半轴上是否存在定点M,使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)设双曲线C的焦距为2c.由双曲线C的离心率为2知c=2a,所以b=a, 从而双曲线C的方程可化为-=1.联立 得2x2-2x-6-3a2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2). 因为Δ=(-2)2-4×2×(-6-3a2)=72+24a2>0, 所以x1+x2=,x1·x2=-3-a2.因为·=3, 所以x1x2+y1y2=x1x2+(x1+)(x2+)=3, 于是2x1x2+(x1+x2)+6=2×(-3-a2)+×+6=3,解得a=1, 所以双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件. 由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).设Q(x0,y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点. 当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,所以∠QMF=45°, 于是MF=QF==3, 所以t=-1,即M(-1,0). 当x0≠2时,tan∠QFM=-kQF=-,tan ∠QMF=kQM=. 因为∠QFM=2∠QMF, 所以-=. 将=3-3代入并整理得-2+(4+2t)x0-4t=-2-2tx0+t2+3, 所以解得t=-1,即M(-1,0). 综上,满足条件的点M存在,其坐标为(-1,0). 3.(2022·山东枣庄一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x+2y=0交于M,N两点,且线段MN的中点为P(8,yP). (1)求抛物线C的方程; (2)过点P作直线m交抛物线于点A,B,证明:以弦AB为直径的圆恒过点(4,4). (1)解:由题知,yP=-×8=-4.设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),显然x1≠x2, 所以kMN===-.又y1+y2=2yP=-8,所以kMN=-=-,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)证明:当直线m的斜率存在时, 设直线m:y=k(x-8)-4(k≠0),A(x3,y3),B(x4,y4). 联立 整理得ky2-4y-32k-16=0,Δ>0, y3+y4=,y3y4=-32-, 所以x3+x4=+16=+16,x3x4==+64. 令Q(4,4), 则·=(x3-4)(x4-4)+(y3-4)(y4-4)=x3x4-4(x3+x4)+16+y3y4- 4(y3+y4)+16=+64-4(+16)+16+(-32-)-+16=0,所以QA⊥QB,故以弦AB为直径的圆恒过点(4,4). 当直线m的斜率不存在时,直线m:x=8,此时直线m与抛物线的两个交点分别为(8,4),(8,-4), 不妨令A(8,4),B(8,-4),此时=(4,4-4),=(4,-4-4),则·=16-(4+4)(4-4)=0, 所以QA⊥QB,故以弦AB为直径的圆过点(4,4). 综上所述,以弦AB为直径的圆恒过点(4,4). 4.(2022·海南中学一模)在△ABC中,已知B(-,0),C(,0),AD⊥BC交BC于点D,H为AD的中点,满足BH⊥AC,点H的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点M(0,)作直线l交曲线C于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆恒过定点, (1)解:设H(x,y),A(x,2y), =(x+,y),=(x-,2y), 因为BH⊥AC,所以·=0, 即(x+)(x-)+2y2=0, 整理得x2+2y2=2,即+y2=1.