全等三角形模型压轴题综合训练（一）-2023-2024学年八年级数学上册全等三角形基本模型探究（人教版）

全等三角形模型压轴题综合训练（一） 一、填空题 1．如图，在等边中，，是上一点，且，连接，以为腰向右作等腰，，连接，取的中点，连接，则的长是 ．    2．如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时， 度．    3．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）①平分；②；③；④． 4．如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为 ． 5．如图，已知中，，点为直线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，当最小时，线段的值为 ．    二、解答题 6．如图，为等边的高，，点为射线上的动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．    (1)如图①，当点在线段上时，且在射线上时，求证：． (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． (3)若点在线段的延长线上，且时，请直接写出线段的长度． 7．如图，向外作和等边，连接．    (1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ (2)如图2，当是直角三角形（）时，若，． 求证：． 8．阅读下面材料： 小胖同学遇到这样一个问题：如图1，点D为的边的中点，点E，F分别在边上，，试比较与的大小． 小胖通过探究发现，延长至点，使得，连接和，如图2：可以得到一对全等三角形和一个等腰三角形，从而解决问题．    试回答： (1)小胖同学发现与的大小关系是 ． (2)证明小胖发现的结论． (3)如图3，，，的面积为12，点D是边上一点（点D不与B、C两点重合），点E、F分别是边上一点，求周长的最小值． 9．在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、、重合），过点作于点，过点作于点，连接，．    【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G． （1）求证：； （2）求与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； ②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明． 10．已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、 (1)如图，当与在同一直线上时，求证：； (2)如图，若，，求，的长； (3)如图，当时，求证：． 11．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．    (1)如图1，若平分，，求的值； (2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，连接， ①求证：； ②，，求的值． 12．已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且    (1)如图1，若平分，延长、交于点F，求证：； (2)如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上； (3)如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数． 13．已知．    (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出的中线； ②延长至E，使，连接；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)如图2，若是中线．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若是的中线，过点B作于E，交于点F，连接．若，求的长． 14．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板    （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 15．已知在中，点，分别是边，上的动点，连接、交于点．      (1)如图1，在等边中，，求证：； (2)如图2，在中，若，，且，，求的度数； (3)如图3，在等边中，且，在平面内将线段绕点顺时针方向度转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，请直接写出线段，，之间存在的数量关系． 16．直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图，中，，为斜边中点，则．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题： 如图，在中，点为边中点，直线绕顶点A旋转，若、在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接、； (1)求证：； (2)若直线绕点旋转到图的位置时，点、在直线的同侧，其它条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由； (3)如图，，旋转到与垂直的位置，为上一点且，于，连接，取中点，连接，，求证：