重难点01 空间向量、空间基本定理及坐标运算十四大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

重难点01空间向量、空间基本定理及坐标运算十四大题型汇总 技巧一.向量共线的判定及应用 （1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. （2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使. 技巧二.空间向量数量积的注意点 （1） 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律 技巧三. （1）两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化； （2）利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 技巧四. 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度. 技巧五. 利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋y＋z（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 技巧六.关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标.. 技巧七.求异面直线所成角的方法 （1） 基向量法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基向量的方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别作为a与b的方向向量，则cos θ=，根据条件可以把与用基表示，再进行计算. （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线 角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 题型1空间向量的线性运算 【例题1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于    （    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】1. （多选）（2023秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】3. （2023秋·高二课时练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】4. （2023秋·高二课时练习）已知空间四边形，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，则 ， . 题型2用基地表示向量 【例题2】（2022秋·浙江·高二校联考期中）如图，四面体中，点为中点，为中点，为中点，设，，，若可用，，表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】1. （2023秋·河南驻马店·高二统考期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 【变式2-1】2. （2023秋·湖南湘西·高二校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，且，若 ，则（    ）    A． B． C．1 D． 【变式2-1】3. （2022·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】4. （多选）（2023秋·湖南益阳·高二桃江县第一中学校考开学考试）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且