第十二章 第3节 绝对值不等式-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　绝对值不等式 [考试要求] 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c;|x-a|+|x-b|≤c. 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集. 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|<a (-a,a) |x|>a (-∞,-a)∪ (a,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) R (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. ①|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法. ①利用绝对值不等式的几何意义求解; ②利用“零点分段法”求解; ③通过构造函数,利用函数的图象求解. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. [重要结论] 1.|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>-b>0时,等号成立. 2.|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0时,右边等号成立. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.(　　) (2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为.(　　) (3)对|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>b>0时等号成立.(　　) (4)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时等号成立.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)不等式3≤|5-2x|<9的解集为(　D　) A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7] C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7) 解析:由题意得 即解得 所以不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).故选D. 3.若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数 a=　　　　.  解析:①当a=-1时,f(x)=3|x+1|, f(x)min=0,不符合题意; ②当a<-1时,f(x)= 所以f(x)min=f(a)=-a-1=5,所以a=-6符合题意; ③当a>-1时,f(x)= 所以f(x)min=f(a)=a+1=5,所以a=4符合题意. 综上,a=4或a=-6. 答案:4或-6 4.(2023·辽宁沈阳模拟)若关于x的不等式|x+1|+|3-x|≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:|x+1|+|3-x|≥|x+1-x+3|=4,因为关于x的不等式|x+1|+|3-x|≤a的解集不是空集,所以a大于等于|x+1|+|3-x|的最小值4即可,即a≥4. 答案:[4,+∞) 考点一　绝对值不等式的解法 [例1] 已知不等式|2x-5|+|2x+1|>ax-1. (1)当a=1时,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为R,求实数a的取值范围. 解:(1)令f(x)=|2x-5|+|2x+1|, 则f(x)=|2x-5|+|2x+1|= 因为a=1,所以当x≤-时, 由-4x+4>x-1,解得x≤-, 当-<x≤时,由6>x-1,解得-<x≤, 当x>时,由4x-4>x-1,解得x>. 综上可得,所求不等式的解集为R. (2)由(1)作函数f(x)的图象,点A(,6),令y=ax-1,则其过定点P(0,-1),如图所示,由不等式|2x-5|+|2x+1|>ax-1的解集为R,可得-4≤a<, 即-4≤a<. 所以所求实数a的取值范围为[-4,). 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法:对a>0,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x<-a或x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法:在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解. (6)解含绝对值符号的不等式要注意分类讨论思想的