精品解析：苏教版（2019）必修第二册课本习题 习题9.4

习题9.4 1. 如图，夹角为90°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力4N，求物体的重力． 2. 某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 3. 已知，，，． （1）求证：； （2）求在上的投影向量． 4. 在四边形ABCD中，，，求证：四边形ABCD是菱形． 5. 如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都是，两条钢丝绳拉力的合力大小为F． （1）如果，求F的大小； （2）试研究：当时，随着的增大，F的变化趋势． 6. 在△中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：． 7. 在平面直角坐标系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O为坐标原点，的平分线交线段AB于点D，求点D的坐标． 8. 已知向量，，满足条件，且，求证：△正三角形． 9. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． （1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． （2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） （3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ （阅读题） 10. 设，为直线l上两个不同的点，则．我们把向量及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，（其中叫做直线l的斜率），也是直线l的一个方向向量． 如果直线l经过点，且它一个方向向量是，试用向量共线的方法推导直线l上任意一点的坐标x，y满足的关系式． 阅读 向量源自力学 1586年，荷兰数学家、物理学家斯蒂文（S．Stevin，1548—1620）在其著作《静力学原理》中，首先在两力互成直角的情形下，引进了力的三角形法则（或平行四边形法则）．但是他未能推广到力取任意方向的一般情况．牛顿（I．Newton，1642—1727）在《自然哲学的数学原理》一书中作为三个运动定律的推论，才明确提出了力的合成与分解定理． 1788年，法国数学家、物理学家拉格朗日（J．L．Lagrange，1736—1813）在《分析力学》中把带有方向物理量数学化，即用数学方法来表示它们．例如，他不仅用具有确定长度和方向的有向线段来表示一个力，而且把置于空间直角坐标系中，并沿坐标轴把分解为三个分力，和．这些分力作为坐标轴上的有向线段，可以简单地用数来表示．这样，在力学中关于力、速度和加速度的所有方程，都可以转化为联系它们分量的关于x，y，z的三个方程． 拉格朗日没有使用“向量（vector）”一词．直到1844年，德国数学家格拉斯曼（H．G．Grassmann，1809—1877）才引入有向线段的记号，称之为向量，并引入向量的一般运算．他创立了具有n个分量的超复数和n维向量等概念，并且有效地定义了n维向量的各种运算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 习题9.4 1. 如图，夹角为90°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力4N，求物体的重力． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形法则得到合力的方向和大小，重力方向与该合力方向相反，大小相等，即可得到结果. 【详解】 对重物进行受力分析，画出示意图如图所示， 四边形为平行四边形，因为夹角为90°，故该四边形为正方形，合力的方向为 重力的方向为，，. 重力大小为. 2. 某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为1m/s，此人朝正南方向游去，求他的实际前进方向和速度． 【答案】实际前进方向为南偏东，速度为. 【解析】 【分析】如图所示，河水速度为，，人的速度为，，根据向量加法得到答案. 【详解】如图所示：河水速度为，，人的速度为，， 则，，，. 故实际前进方向为南偏东，速度为. 3. 已知，，，． （1）求证：； （2）求在上的投影向量． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】(1)根据点坐标得到向量坐标，计算向量点积为0即可得到向量的垂直关系；（2）计算出向量的单位向量，以及在上的投影为，两者的乘积即可得到结果. 【小问1详解】 已知，，，，， . 【小问2详解】 ，，， ，，在上的投影为 上的单位向量为 在上投影向量为. 4. 在四边形ABCD中，，，求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由可得平行且相等，由可得，结合平行四边形性质，即可证明结论. 【详解】由，即且，故ABCD为平行四边形， 由，即，而是ABCD的对角线， ∴四边形ABCD是菱形，得证. 5. 如图，为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每