章末检测试卷(一) 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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特供
内容正文：
第一章 空间向量与立体几何
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
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2.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(1,3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析 若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，
即(1,3，λ)＝(2x，－x,3x)＋(－y,4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
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3.若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为 则x
等于
A.3 B.－3 C.－11 D.3或－11
√
解析 因为a·b＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x－8＋10＝x＋2，
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解得x＝3或x＝－11(舍去).
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5.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
√
解析 因为a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，
所以2a－b＝(4,2n－1,2).
因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，
所以－8＋2n－1＋4＝0，
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6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点
点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，
∠DCB＝30°，则AD的长为
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解析 因为点D在平面Oyz内，
所以点D的横坐标为0，
又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
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纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为
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解析 依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2，
则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，
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设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，
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不妨取c＝3，则a＝1，b＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,2,3)，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
8.已知四棱锥P－ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长的取值范围是
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解析 由△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，取AD中点G，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(－1，0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，设F(1，y,0)，
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A.(4，－2,2) B.(－2,2,4)
C.(－4,2，－2)
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