第一章 章末复习课 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

章末复习课 第一章　 空间向量与立体几何 随堂演练 一、空间向量的概念及运算 二、利用空间向量证明位置关系 三、利用空间向量计算距离 内容索引 四、利用空间向量求空间角 知识网络 知识网络 3 4 一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力. 1 (2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是 √ √ 又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2， 反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)， 跟踪训练1　(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上， A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3) √ (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， 二、利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 证明　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则B(1，0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2，2,0)，M(1,1，1)， 又BM⊄平面PAD， ∴BM∥平面PAD. 例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 从而MN⊥BD，MN⊥PB， 使MN⊥平面PBD. (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由. 反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证). 跟踪训练2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； 证明　在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5， 所以AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4). (2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1. 解　假设在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1， 所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4， 所以在AB上存在点E，使得AC1∥平面CEB1，这时点E为AB的中点. 三、利用空间向量计算距离 1.空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量 在直线l上的投影向量为 则点P到直线l的距离为 (如图). (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图). 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例3　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离. 解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 反思感悟　利用向量法求