专题2.9 直线和圆的方程专题中的5个重难点题型-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.9 直线和圆的方程专题中的5个重难点题型 【考点1：圆的弦长问题】 1 【考点2：与圆有关的轨迹问题】 4 【考点3：与圆有关的最值问题】 6 【考点4：与圆有关的定点问题】 8 【考点5：与圆有关的定值问题】 11 【考点1：圆的弦长问题】 求直线与圆相交时弦长的方法： (1)几何法：如图1，直线与圆交于两点，设弦心距为，圆的半径为，弦长为，则有，即. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，则 或，其中为直线的斜率. 1．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 . 2．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线与圆相交于两点，且弦的长为2，则实数的值是 . 3．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，使弦长为整数的直线l共有 条. 4．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知过坐标原点的直线l与圆相交于M，N两点，当线段MN的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（    ） A．12 B．13 C．25 D．26 5．（2023秋·高二课时练习）已知直线与直线垂直，且它被圆所截得的线段的长为，求直线的方程． 6．（2023秋·全国·高二期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线方程为与圆相交于两点，求. 7．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点. (1)当弦AB最长时，求直线l的方程； (2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程. 8．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点. (1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程； (2)若圆与圆相交于E，F两点，求． 9．（2023秋·高二课时练习）如图，已知圆心坐标为的圆M与x轴及直线均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线均相切，切点分别为C，D.    (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 【考点2：与圆有关的轨迹问题】 （1） 用定义法求圆的轨迹方程：直接根据圆的定义求解； （2）用待定系数法求圆的轨迹方程：设圆的标准方程为； （3）相关点法确定圆的轨迹： ①双动点、一显一隐：已知条件中有两个动点，一个动点的轨迹明显易求，另一个隐藏极深难求. ②建立关联：即建立双动点的关系，最好以向量的形式出现，从而便于使用坐标形式. ③消显现隐：利用显动点的轨迹方程，通过代入，从而求出隐动点的轨迹方程. 1．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·高二课时练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，求弦的中点的轨迹方程． 3．（2023·全国·高一专题练习）已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 4．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 5．（2023秋·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 6．（2023秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知的斜边为，且． (1)求直角顶点的轨迹的方程； (2)直线与交于两点M，N，若，求的值． 【考点3：与圆有关的最值问题】 （1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法: 一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解,注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离. （2）与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法: 形如型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值问题. （3）与距离最值有关的常见的结论: ①圆外一点A到圆上距离最近为|AO|-r,最远为|AO|+r； ②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦； ③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d+r,最近为d-r；