专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系18大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系18大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求圆的标准方程、一般方程 1．（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意求圆心和半径，即可得方程. 【解答过程】因为点，， 则线段的中点为，， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【解答过程】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 【答案】 【解题思路】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【解答过程】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据两点间距离求,再应用点到直线距离求出高,最后应用面积公式即可; （2）根据外心是三边垂直平分线的交点得出外接圆圆心,再应用两点间距离求出半径,最后根据圆的标准方程求解. 【解答过程】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线 (1)求直线所过定点的坐标 (2)已知圆经过定点，，，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将直线方程变形成，再由，即可求解； （2）设圆的方程为，将点的坐标代入求出，即可求解. 【解答过程】（1）由，得到， 由，解得，所以直线所过定点的坐标为. （2）由（1）知，又，， 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 6．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标. 【解答过程】易知圆方程可化为， 因此圆心坐标为. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标. 【解答过程】圆可化为， 所以圆心坐标为. 故选：A. 8．（25-26高二上·福建福州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的标准方程，直接得到圆心和半径. 【解答过程】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：B. 9．（25-26高二上·广东·期中）已知圆，则圆的半径为____________. 【答案】4 【解题思路】将圆化简为标准方程求解即可. 【解答过程】根据题意圆，可得圆的半径为. 故答案为：4. 10．（25-26高二上·河北廊坊·期中）已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，圆心坐标为，半径 【解题思路】（1）根据可列出方程，化简即得答案； （2）解法一，利用配方法，结合圆的标准方程，可得答案；解法二，结合圆的一般方程以及二元二次方程表示圆的条件，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意得， 两边同时平方，化简得， 即点P的轨迹方程为． （2）解法一：由（1）得， 故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为，半径为． 解法二：由（1）结合圆的一般方程得， 所以，故点P的轨迹是圆． 又，，所以圆心坐标为，半径． 题型3 二元二次方程表示圆的条件 11．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 12．（25-26高二上·陕西商洛·期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据方程的曲线表示圆的充要条件列式求解. 【解答过程】由方程表示的曲线是一个圆，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 13．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 14．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【解答过程】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【解题思路】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【解答过程】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 题型4 点与圆的位置关系 16．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【解答过程】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 17．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【解答过程】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先化简圆的方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】解：由圆，可得， 可得，解得， 又由点在圆外，则，解得， 综上可得：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 19．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的__________．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【解题思路】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【解答过程】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 20．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，即可求解. 【解答过程】因为点在圆的外部， 所以， 解得， 故答案为：. 题型5 轨迹问题——圆 21．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 22．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【解答过程】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 23．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解题思路】设，根据两点间距离公式，化简求动点的轨迹方程. 【解答过程】设动点，又，，则，， 因为点满足， 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为：. 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【解题思路】（1）设圆的标准方程为，根据条件联立方程求解圆心和半径； （2）通过向量关系设点和的坐标，利用代入法求点的轨迹方程. 【解答过程】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 25．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得； （2）待定系数法求解圆的方程； （3）相关点法求动点的轨迹方程. 【解答过程】（1）线段的中点，， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. （2）设圆的方程为， 由题意可知，解得， 所以圆的方程为. （3）设点的坐标为，点的坐标为， 因为点的坐标是，点是线段的中点，所以， 即， 因为端点在圆上运动，所以， 代入可得，即， 因此线段的中点的轨迹方程为. 题型6 直线与圆的位置关系 26．（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用点到直线距离公式计算判断即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B. 27．（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【解答过程】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A. 28．（25-26高二上·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则___________． 【答案】或 【解题思路】将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【解答过程】由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 29．（25-26高二上·河北衡水·期中）记圆，直线． (1)若圆心T在l上，求a； (2)若圆T与l相切，求a； (3)若圆T与l相交，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【解题思路】（1）先求出圆心，再应用点在直线上计算求解； （2）根据直线与圆相切得出圆心到直线距离等于半径计算求参； （3）根据直线与圆相交得出圆心到直线距离小于半径计算求参； 【解答过程】（1）圆的圆心为， 因为圆心T在l上，所以，所以； （2）圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相切，所以，所以或； （3）圆的圆心为，半径为， 又圆T与l相交，所以，所以. 30．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线和圆. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)直线与圆相交. (2)或. 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆位置关系即可求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【解答过程】（1）由圆可得，圆心，半径，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交. （2）若过点的直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为， 即，则圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 题型7 圆的弦长与中点弦问题 31．（25-26高二上·四川成都·期中）直线：被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【解答过程】圆：，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为. 故选：B. 32．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【解题思路】求出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时的直线与的位置关系，即可得结果. 【解答过程】直线即恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5，所以. 故选：A. 33．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为___________. 【答案】 【解题思路】根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【解答过程】圆方程：，即， 即圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则弦长为. 故答案为：. 34．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； （2）由点为圆的弦的中点，所以先求，根据弦长计算即可. 【解答过程】（1）由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 由圆心到直线的距离为：， 此时，直线与圆相切，满足题意， 当过点的直线的斜率存在时， 设方程为，即， 由题意知直线与圆相切可得：， 解得：， 所以切线方程为， 故过点的圆的切线方程为或． （2）由点为圆的弦的中点，且， 所以. 35．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）设圆的一般方程为，， 将各点坐标代入，可得，解得， 所以圆的一般方程为； （2）由（1）可得圆的方程为，则圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 题型8 直线与部分圆的相交问题 36．（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 37．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出直线过定点的坐标及曲线所表示的图形，再数形结合即可得解. 【解答过程】由题意，直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点， ，可化为（）其表示以为圆心，半径为2的圆上半部分， 如图，当l与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线l与曲线有两个交点，则. 故选：C.    38．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【解答过程】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D. 39．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】先分析曲线和直线，根据直线与圆的位置关系求得的取值范围. 【解答过程】曲线，两边平方得， 整理为且，这是以为圆心，半径的下半圆， 直线可整理为，直线恒过定点， 由题意，直线与下半圆的交点情况，先求直线与下半圆相切的的值： 圆心到直线的距离等于半径，即，化简得， 平方后，即，解得或， 当时，直线为，与下半圆无交点，舍去， 当时，直线与下半圆相切， 求直线过下半圆端点的的值：下半圆的端点为和， 直线过时，代入得，解得， 直线过时，代入得，解得， 直线与下半圆有两个不同的交点，则实数的取值范围 故答案为：.    40．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】该题为过定点的直线与半圆相交的问题，利用数形结合解出的范围. 【解答过程】整理直线,则直线过定点. 整理曲线得：,其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分（含端点）， 当直线与半圆相切时，有,解得. 若直线过点,将点代入直线，得. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须使. 故答案为：. 题型9 圆上的点到直线距离个数问题 41．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【解答过程】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 故选：D. 42．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【解答过程】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 43．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可. 【解答过程】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 44．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离. 设与直线距离为1的两条平行线为， 由，得或. 则圆心到的距离为，到的距离为. 因为圆上到直线距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故答案为：.    45．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【解答过程】易知圆的圆心为，半径为3， 且圆上恰有两个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离满足， 由，得， 因为，所以正数的取值范围是. 故答案为：. 题型10 求圆的切线方程 46．（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【解答过程】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D. 47．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到点在圆上，设过点的切线为，由，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解答过程】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 48．（25-26高二上·山东德州·期中）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【解题思路】根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【解答过程】当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得， 所以切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为， 圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是或. 故答案为：或. 49．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 50．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)与 【解题思路】（1）设出圆心，再由垂径定理中的直角三角形三边关系列出方程，即可得解； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【解答过程】（1）设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得， 整理得：，解得或（舍去）. 故圆心，圆上一点，半径， 故圆的方程为：. （2） 当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离，故是圆的切线； 当过的直线的斜率存在时，可设切线为， 可化成一般式，圆心到该直线的距离为2，即， 整理得，解得，此时切线为， 化成一般式得. 综上所述，过点作圆的切线方程为与. 题型11 圆的切线长问题 51．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心和半径及，根据切线长公式求得结果． 【解答过程】直线与轴的交点， 圆，即， 则圆心，半径， ， 故切线长， 故选：C． 52．（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 53．（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则___________. 【答案】5 【解题思路】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：.    54．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【解答过程】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； （2）由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 55．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)（或）；点在该圆上； (2)或； (3)25 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标求得方程，即可判断； （2）通过斜率存在和不存在两类情况讨论即可求解； （3）由与直线垂直时，四边形面积最小，结合点到线的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）设经过，，三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得，，， 所以圆的方程为（或）； 又点的坐标满足上述圆的方程， 点在圆上； （2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3） 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，， ， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小， 即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小， 此时圆心到直线的距离， 四边形EMTN面积最小值为. 题型12 阿波罗尼斯圆 56．（25-26高二上·广西·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解. 【解答过程】设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离 ， 故点到直线的距离的最小值为. 故选：B. 57．（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解. 【解答过程】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. 58．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是__________. 【答案】 【解题思路】由题意计算可得点轨迹方程，则可得，即可得面积最大值. 【解答过程】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 59．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）设，根据列方程化简可得结论； （2）设，则，由该直线与圆有公共点，可得关于的不等式，求解可得取值范围； （3）联立直线和圆C方程，消元后利用韦达定理代入到，进行坐标运算可得关于的方程，解出m即可. 即可求证； 【解答过程】（1）设，因为， 故， 化简得：， 整理可得， 配方得：， 点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆； （2）设，则， 由直线l：与圆C有公共点， 由（1）知圆C方程为， 则， 化简得：，解得， 故的取值范围是； （3）设，，联立， 消去y得， 由，得    ①， 根据韦达定理得：，， 由以MN为直径的圆过原点，得到， 所以 ， 解得满足①式， 所以存在实数，使得以MN为直径的圆过原点.    60．（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； (2)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； (3)设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 【答案】(1)，圆心坐标为，半径为2． (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）先设出点，根据已知的距离之比列出等式，然后化简即可； （2）先设出直线，然后联立直线与圆的方程根据韦达定理得到的关系，即可求出； （3）设直线的方程，然后联立直线与圆的方程得到一元二次方程，再根据韦达定理得到得到直线中参数的关系，进而证明. 【解答过程】（1）设点，因为，所以， 整理得．    该圆对应的圆心坐标为，半径为2． （2）当斜率为0时，即，不符合题意； 当斜率不为0时，设其方程为，设，， 由消去得， ②，③．        由，，得， 所以，，①， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为． （3）证明： 设直线的方程为，，， 由得， 所以，，     所以 ，       所以，所以直线方程为， 令，解得， 即直线过定点. 题型13 直线与圆中的面积问题 61．（25-26高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，再求出点到直线的最大距离和最小距离，求出最大面积和最小面积即可. 【解答过程】解：因为直线分别与轴，轴交于A，B两点， 所以,，所以， 又因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为，最小距离为， 所以的最大面积是；的最小面积为. 故选：A. 62．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形面积的最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【解答过程】变形为，恒过， 变形为，恒过， 因为，所以， 所以交点P的轨迹是以和为直径端点的圆， 则圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：C. 63．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_____________． 【答案】4 【解题思路】设的中点为，，弦心距为，由和根据勾股定理列式求解，再根据三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】 ，所以在圆内， 设的中点为， 设，因为， 所以， 设圆心到直线的距离为，所以， 又， 解得，则，， 所以的面积是. 故答案为：4. 64．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)设直线与圆交于点，，且，求面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）分离参数，可得直线过定点； （2）由（1）可得，则直线的斜率为，即可得直线方程，进而可得圆心到直线的距离及弦长，从而可得三角形面积. 【解答过程】（1）证明：由直线，即， 所以，解得， 即直线过定点； （2）由（1）得，且圆，即，半径， 则直线的斜率， 又，即，， 即直线，化简可得， 所以圆心到直线的距离， 则弦长， 所以的面积. 65．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. (1)求圆的方程； (2)若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求得抛物线与坐标轴的三个交点为，再待定系数求解即可； （2）先求得点到圆心的距离，进而求得切线长，再根据计算面积即可. 【解答过程】（1）解：对于，令得或，令得； ∴抛物线与坐标轴的三个交点为， 设圆的方程为， ∴，解得，满足， ∴圆的方程为 （2）解：将圆的方程化为标准方程得， ∴圆的圆心为，， ∴点到圆心的距离为， ∴切线长为， ∴四边形AMCN的面积为， 即四边形AMCN的面积为. 题型14 直线与圆有关的最值问题 66．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据圆的弦长得出，再计算出圆心到直线的距离为换元令，结合一元二次方程的判别式求出的取值范围进而得到答案. 【解答过程】设圆的标准方程为， 因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 又因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 所以，即①， 圆心到直线的距离为， 设，则代入①中有， 即，该方程有实数根的条件为， 即，故，即， 所以，因此圆心到直线的距离， 所以圆的圆心到直线的距离的最小值为. 故选：D. 67．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的性质及直线与圆的位置关系，得出目标表达式与两圆的关系式，再求出关于直线的对称点，再结合两点间线段最短求出的最小值． 【解答过程】    的圆心为，半径，的圆心为，半径，分别是圆上的动点， ，故， 设点关于直线的对称点为，则垂直于直线 且的中点在直线上， 即，解得， ， 两点之间线段最短，的最小值为， ， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 68．（25-26高二上·广东·期中）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为____________． 【答案】 【解题思路】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【解答过程】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离 ， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为：. 69．（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 70．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 题型15 直线与圆的实际应用 71．（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 72．（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 73．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为____________小时. 【答案】 【解题思路】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【解答过程】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为：. 74．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2)追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截，理由见解析 【解题思路】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【解答过程】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 75．（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【解题思路】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【解答过程】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 题型16 圆与圆的位置关系 76．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【解题思路】求得两圆的圆心距与半径和和半径差作比较可得结论. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径为， 由圆，可得圆心，半径为， 由，所以圆与圆的外切. 故选：C. 77．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解题思路】根据两圆方程可得圆心和半径，根据圆心距和两圆半径之间关系可得结果. 【解答过程】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离. 故选：D. 78．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】根据两圆无公共点，可知两圆外离或者内含，根据圆心距和两圆半径的关系即可求解. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 故答案为：. 79．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆D相交，求的取值范围； (2)若，求圆与圆所得的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两圆的位置关系，转化为公式，即可求解； （2）首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为3，则， 由圆与圆D相交得，，解得 所以的取值范围是； （2）当时，圆， 圆C与圆D的方程相减整理得， 所以圆C与圆D的公共弦所在直线方程为， 点到直线距离为， 所以公共弦长为. 80．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 【答案】(1) (2)两圆相交，公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解题思路】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，再由圆心及圆上一点确定半径，进而得到圆的方程； （2）运用圆心距和两个圆半径的关系，判定位置关系，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式计算公共弦长即可. 【解答过程】（1）的中点坐标，且直线的斜率为， 故直线的垂直平分线的斜率为， 因此直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程，解得，即圆心 . 又， 故圆. （2）圆与圆的位置关系为相交. 由题可知，圆的圆心，. 故， 又， 故两圆的位置关系为相交. 设交点为， ，， 两圆方程作差得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为：. 又圆心到直线的距离为， 则公共弦长. 题型17 两圆的公共弦问题 81．（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由几何法求得弦长. 【解答过程】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 82．（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【解答过程】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 83．（25-26高二上·重庆大足·期中）圆与圆的公共弦长为___________. 【答案】 【解题思路】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得. 【解答过程】圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 有，，， 则，故两圆相交，两圆方程作差有： ， 即为公共弦所在直线方程，到该直线距离， 则公共弦长. 故答案为：. 84．（25-26高二上·辽宁·期中）已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】(1)； (2)公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解题思路】（1）求出两圆的圆心，半径，圆心距，可得若两圆内切，只能是，带入半径求解即可； （2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式求弦长即可. 【解答过程】（1）设圆：，可化为， 则圆心，半径， 设圆：，可化为， 则圆心，， 由于圆心距，， 则要使得两圆内切，需，即，解得. （2）当时， 圆：， 两圆的方程相减，可得，即， 则两圆的公共弦方程为. 则圆心到公共弦的距离为， 由弦长公式，可得弦长为. 85．（25-26高二上·四川·期中）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 【答案】(1)或 (2)， 【解题思路】（1）根据切线斜率是否存在进行分类讨论，则切线方程可求； （2）通过两圆方程相减可得直线的方程，再由到直线的距离以及的半径可求. 【解答过程】（1）因为，所以在圆外； 当切线斜率存在时，设切线，即， 所以，解得，即切线方程为； 当切线斜率不存在时，切线方程为，且，故满足条件， 综上所述，切线方程为或. （2）， 将的方程相减可得，即， 所以直线的方程为； 因为的圆心为，半径为， 所以. 题型18 两圆的公切线问题 86．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）若圆与圆有三条公切线，则（    ） A．21 B．19 C．9 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得圆与圆外切，进而求出. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆恰有三条公切线，得圆与圆外切，则 即，解得， 故选：C. 87．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解题思路】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【解答过程】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D. 88．（25-26高二上·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定，得到圆与圆相交，进而得到答案. 【解答过程】由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 89．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. (1)求直线与的方程； (2)求； (3)求与的所有公切线的方程. 【答案】(1)直线与的方程为或. (2) (3)或或 【解题思路】（1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, 【解答过程】（1）可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. （2）由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以. （3）的圆心，半径；的圆心，半径.    因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 90．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】(1) (2)或或或 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【解答过程】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. （2）由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，     又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.     可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）证明：设过点的直线的方程为，整理为，     点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.     又由，， 所以.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系18大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求圆的标准方程、一般方程 1．（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线 (1)求直线所过定点的坐标 (2)已知圆经过定点，，，求圆的方程． 题型2 由圆的方程确定圆心和半径 6．（25-26高二上·浙江·期中）已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建福州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东·期中）已知圆，则圆的半径为____________. 10．（25-26高二上·河北廊坊·期中）已知点，且． (1)求点P的轨迹方程； (2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由． 题型3 二元二次方程表示圆的条件 11．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·陕西商洛·期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是___________. 15．（25-26高二上·河南许昌·期中）若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 题型4 点与圆的位置关系 16．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·青海海南·期中）点在圆的__________．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 20．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是__________. 题型5 轨迹问题——圆 21．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为__________. 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 25．（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆经过点，，圆心在直线上. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求圆的方程； (3)若点，是圆上任意一点，线段的中点为，求动点的轨迹方程. 题型6 直线与圆的位置关系 26．（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 27．（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 28．（25-26高二上·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则___________． 29．（25-26高二上·河北衡水·期中）记圆，直线． (1)若圆心T在l上，求a； (2)若圆T与l相切，求a； (3)若圆T与l相交，求a的取值范围． 30．（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线和圆. (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 题型7 圆的弦长与中点弦问题 31．（25-26高二上·四川成都·期中）直线：被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．1 C． D． 32．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 33．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为___________. 34．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 35．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 题型8 直线与部分圆的相交问题 36．（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是____________． 40．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为____________. 题型9 圆上的点到直线距离个数问题 41．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 44．（25-26高二上·河北唐山·期中）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为____________. 45．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是____________. 题型10 求圆的切线方程 46．（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·山东德州·期中）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 49．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 50．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 题型11 圆的切线长问题 51．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 52．（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则___________. 54．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 55．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 题型12 阿波罗尼斯圆 56．（25-26高二上·广西·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 57．（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是__________. 59．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 60．（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； (2)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； (3)设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 题型13 直线与圆中的面积问题 61．（25-26高二上·浙江温州·期中）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知直线与直线相交于点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_____________． 64．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； (2)设直线与圆交于点，，且，求面积． 65．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点. (1)求圆的方程； (2)若从点向圆引两条切线，切点分别为M，N，求四边形AMCN的面积. 题型14 直线与圆有关的最值问题 66．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 67．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 68．（25-26高二上·广东·期中）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为____________． 69．（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 70．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 题型15 直线与圆的实际应用 71．（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 72．（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 73．（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为____________小时. 74．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 75．（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 题型16 圆与圆的位置关系 76．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 77．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 78．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是____________. 79．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆D相交，求的取值范围； (2)若，求圆与圆所得的公共弦长. 80．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 题型17 两圆的公共弦问题 81．（25-26高二上·广东广州·期中）两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 82．（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 83．（25-26高二上·重庆大足·期中）圆与圆的公共弦长为___________. 84．（25-26高二上·辽宁·期中）已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 85．（25-26高二上·四川·期中）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程． (2)若圆与圆相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长． 题型18 两圆的公切线问题 86．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）若圆与圆有三条公切线，则（    ） A．21 B．19 C．9 D． 87．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 88．（25-26高二上·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为___________． 89．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. (1)求直线与的方程； (2)求； (3)求与的所有公切线的方程. 90．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $