4.3.1对数的概念（导学案）高一数学人教A版必修第一册

4.3.1 对数的概念（导学案） 1、理解对数的定义，掌握对数式与指数式的互化，熟记对数恒等式，会求简单对数值。 2、从指数运算的逆运算引入对数，体会转化思想，提升逻辑推理能力。 3、感受指数与对数之间对立统一的关系，体会数学概念发展的必要性，增强数学学习信心。 重点：理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟记对数恒等式与常用对数、自然对数的定义。 难点：领会对数概念的本质，理解对数底数与真数的取值范围，实现指数思维向对数思维的转换。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数的概念 （1）对数的定义：如果（，且），那么叫做以为底的对数，记作________________，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为________ ________ 自然对数 底数为________ ________ 【2】对数与指数的互化 当，且时，由对数定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，关系如下： 式子 名称 意义 指数式 _____ _____ _____ 的次幂等于 对数式 _____ _____ _____ _____ 【3】对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ 探究一、对数的概念 问题1：如何将 中的 准确表示出来呢？ （1）已知 求 （2）已知 求 （3）已知 求 （4）已知 求 【辨析1】根据对数定义表述下列各式： （1） （2） 思考1：是否任何数都有对数？ 追问：为什么规定底数不能取负数和 ？ 【辨析2】判断正误： （1）是与的乘积。（ ） （2）化成。（ ） （3）对数运算的实质是求幂指数。（ ） 【辨析3】求下列各式的值。 __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; _________; _________; __________; __________; 思考2：你能发现什么规律吗？ 思考2：你能利用对数与指数间的关系论证上述结论吗？ 【例1】把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1); (2); (3); (4) (5) (6). 【例2】求下列各式中的值： (1); (2); (3) (4) 【题型1：对数的概念辨析】 1、在对数式中，求实数 的取值范围？ 2、若代数式有意义，求实数 的取值范围？ 【题型2：简单的对数运算】 1、以下四个结论，其中正确的是( ) 　　　　　 　 2、已知正数，满足，的值？ 【题型3：解对数方程】 1、设，则的值等于 2、若，则的值等于_________ 3、求下列各式中的值： 一、单选题 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 2．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 5．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 7．心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 8．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，则__________． 13．已知，则______． 14．方程的实数解为__________. 四、解答题 15．将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 16．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 17．（1）已知，求的值； （2）已知，求值：． 18．已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 19．我们知道，十进制中的任何一个正实数x都可以表示成．当时，等于x的整数部分的位数；当时，．例如． (1)求，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 对数的概念（导学案）（解析版） 1、理解对数的定义，掌握对数式与指数式的互化，熟记对数恒等式，会求简单对数值。 2、从指数运算的逆运算引入对数，体会转化思想，提升逻辑推理能力。 3、感受指数与对数之间对立统一的关系，体会数学概念发展的必要性，增强数学学习信心。 重点：理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟记对数恒等式与常用对数、自然对数的定义。 难点：领会对数概念的本质，理解对数底数与真数的取值范围，实现指数思维向对数思维的转换。 阅读教材，完成以下问题： 【1】对数的概念 （1）对数的定义：如果（，且），那么叫做以为底的对数，记作________________，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为________ ________ 自然对数 底数为________ ________ 【答案】 10 e 【2】对数与指数的互化 当，且时，由对数定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，关系如下： 式子 名称 意义 指数式 _____ _____ _____ 的次幂等于 对数式 _____ _____ _____ _____ 【答案】 底数 指数 幂 底数 对数 真数 以为底的对数为 【3】对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ②________；③________ ④________；⑤________ 【答案】 0 1 探究一、对数的概念 问题1：如何将 中的 准确表示出来呢？ （1）已知 求 （2）已知 求 （3）已知 求 （4）已知 求 【答案】（1）（引入减法） （2）（引入除法） （3）（引入开方） （4）（引入对数） 【辨析1】根据对数定义表述下列各式： （1） （2） 【答案】（1）以5为底25的对数是2，记作 （2）以2为底的对数是，记作 思考1：是否任何数都有对数？ 【答案】负数和0没有对数，即 追问：为什么规定底数不能取负数和 ？ 【答案】对数是由指数转化而来，底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，只是位置和名称发生了变换 【辨析2】判断正误： （1）是与的乘积。（ ） （2）化成。（ ） （3）对数运算的实质是求幂指数。（ ） 【答案】：×，×，√ 【辨析3】求下列各式的值。 __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; __________; _________; _________; __________; __________; 【答案】（1） 0 ；1 ；2 ；-4 ；8 ；3 ； （2） 0 ；1 ；3 ；-2 ；81 ；4 ； （3） 0 ；1 ； ；-2 ；0.001 ；5 ； （4） 0 ；1 ；-2 ；2 。 思考2：你能发现什么规律吗？ 【答案】对数的基本性质： ①负数和零没有对数； ②; ③; ④; ⑤ 思考2：你能利用对数与指数间的关系论证上述结论吗？ 【答案】略 【例1】把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1); (2); (3); (4) (5) (6). 【分析】若，则 解： (2) (3); 10. 【例2】求下列各式中的值： (1); (2); (3) (4) 【分析】利用对数概念，转化为指数形式进行求解。 解：(1)∵∴ . (2)∵∴. (3)∵∴ (4)∵∴∴ 【题型1：对数的概念辨析】 1、在对数式中，求实数 的取值范围？ 解：要使对数式有意义，需满足 解得或，所以实数的取值范围是 。 2、若代数式有意义，求实数 的取值范围？ 解：由题可得，解得或， 故实数的取值范围为 。 【题型2：简单的对数运算】 1、以下四个结论，其中正确的是( ) 　　　　　 　 【答案】： 2、已知正数，满足，的值？ 解：由 ， 得， ， 所以 。 【题型3：解对数方程】 1、设，则的值等于 【答案】B 2、若，则的值等于_________ 【答案】10 3、求下列各式中的值： 解：(1)因为，所以，所以 . (2)因为，所以， 所以 。 一、单选题 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0。 2．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可。 【详解】因为，所以. 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 4．已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案。 【详解】依题意，，， 所以，所以. 5．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 6．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知全集，集合. 由，依次计算：，，，， 可得，所以. 所以. 7．心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合可得出的值。 【详解】由题意可知，，可得， 所以，故， 故选：A. 8．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解。 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号。 故选：B. 二、多选题 9．下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用对数函数的定义列出关于a的不等式组，求解即可。 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 10．下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可。 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确。 故选：AD 11．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则，，利用幂函数的单调性能求出结果． 【详解】设， 则，可得， 因为，则，则在内单调递减， 所以，，即，. 故选：AB． 三、填空题 12．已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解。 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 13．已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 14．方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解。 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 四、解答题 15．将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可。 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 16．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以，得； （2）因为，所以，得； （3）因为，所以， 得 17．（1）已知，求的值； （2）已知，求值：． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数式与对数式的互化，可得出关于的等式与不等式，即可解得的值； （2）利用平方关系可求出、的值，代值计算即可得出所求代数式的值。 【详解】（1）由可得，解得； （2）因为，则，则， 所以，可得， 因此. 18．已知正实数x，y满足. (1)比较x，y，1三个数的大小； (2)求的值； (3)证明：. 【答案】(1) (2)15 (3) 证明：由（2）知，即， 则. 【分析】（1）根据指数函数的单调性确定的范围，进而可判断的大小。 （2）根据指数与对数的互换求出，进而得到，从而求得结果。 （3）根据（2）中的结果，结合基本不等式的性质即可证明结论。 【详解】（1）由，且，知，即. 由，且，知，即. 综上可知. （2）由，可得，， 则，， 因此，. （3）略 19．我们知道，十进制中的任何一个正实数x都可以表示成．当时，等于x的整数部分的位数；当时，．例如． (1)求，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)3，1，； (2)30，，31； (3) 猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 因此存在，使得，此时， 而，因此， 所以. 【分析】（1）根据给定的定义直接求出答案。 （2）利用对数化简，把表示成的形式，再利用定义求解。 （3）猜想，利用定义推理证明即可。 【详解】（1）依题意，，， 当时，整数部分的位数为，当时，的非有效数字的位数为， 所以. （2）由，得，则， 所以，，. （3）略 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $