4.3.2 对数的运算-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.已知2“=3,1og45=b,则24-26的值为( 5.已知log2(log3(1og4x)=0,且log4(log2y) A.15 R号 =1.求·y的值. c D.-2 2.（多选)有以下四个结论，其中正确的有 () A.1g(1g10)=0 B.Ig(In e)=0 C.若e=lnx,则x=e D.In(lg 1)=0 3.lg10000= ;lg0.001= ©温馨提西 4.已知l1og2☐og3(logx)]=0,则x= 学习至此，请完成配套训练 4.3.2对数的运算 课程标准 素养解读 1.理解对数运算性质 1.通过对对数运算性质的理解，培养逻辑推理 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然 和数学运算素养 对数或常用对数 2.通过对换底公式的应用，提升数学抽象素养 课前。预习学案 [情境引入] [问题] 已知1g2=0.3010,你会求1g5的 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使 值吗？ 对数与自然对数更接近（以e=2.71828…为 底).对数的发明为当时社会的发展起了重要 的影响，正如科学家伽利略(1564一1642)说： “给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇 [知识梳理] 宙”.又如十八世纪数学家拉普拉斯(1749一 [知识点一]对数的运算性质 1827)亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天 1.性质 文学家的寿命加倍” 若a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： 最早传入我国的对数著作是《比例与对 ①log.(MV)= 数》，它是由波兰的穆尼斯(1611一1656)和我 M 国的薛凤祚在17世纪中叶合编而成的.当时 ②log. 在lg2=0.3010中，2叫“真数”，0.3010叫做 ③logM"= (n∈R) “假数”，真数与假数对列成表，故称对数表.后 2.本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计 来改用“假数”为“对数” 算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并 我国清代的数学家戴煦(1805一1860)发 成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的 展了多种的求对数的方法，著有《对数简法》 对数计算. (1845)、《续对数简法》(1846)等.1854年，英 3.应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决 国的数学家艾约瑟(1825一1905)看到这些著 对数式的计算问题. 作后，大为叹服 ·118· 第四章指数函数与对数函数 纪思考1.你能用文字语言叙述对数的运算 ②思考3.对数的换底公式用常用对数、自然 性质吗？ 对数表示是什么形式？ 2.在积的对数运算性质中，三项的乘积式 4.你能用换底公式和对数的运算性质推导出 log.(MVQ)是否适用？你可以得到一个 结论logy-M"=m1ogM吗？ 什么样的结论？ [预习自测] [知识点二]换底公式 1.log3(xy)=logx+logy成立的条件是 1.公式：logb= (a>0,且a≠1； c>0,且c≠1；b>0) A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 2.本质：将对数的底数换成任意大于零，且不 C.x<0,y>0 D.x∈R,y∈R 等于1的实数. 2.2log510+log0.25= 3.应用：将底数换成10或e,即将任意对数运 A.0 B.1 C.2 D.4 算统一为常用对数或自然对数进行计算， 3.lg0.01+1og216的值是 课堂。互动学案 题型 对数运算性质的应甬 规律方法 [例1](1)lg√27+lg8-lg000 底数相同的对数式的化简和 g1.2 (2)(lg5)2+lg2+lg2·lg5. 求值的原则、方法及注意事项 汇思路点拨]利用对数的运算性质及运算 (1)基本原则 法则求值，本着化异为同的原则，先使各项 对数的化简求值一般是正用或逆用公 底数相同，才能使用性质，再找真数之间的 式，对真数进行处理，选哪种策略化简， 联系，对于较复杂的真数，可以先化简再 计算 取决于问题的实际情况，一般本着便于 真数化简的原则进行. (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和（差）收成 积（商）的对数； ②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两 对数的和（差）. (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用 “1g5+l1g2=1g10=1”解题. ②准确应用以下结论： log.1=0,log.a=1,al0E.N=N(a>0, a≠1，N>0) ·119· 数学·必修第一册 ◇[变式训练] 规律方法 1.计算：12g2-1bg号+log8-25； 1.(1)解法一是先将括号内换底，然后将 底统一 (21g14-2g号+1g7-1g18. (2)解法二是在解题方向还不清楚的情况 下，一次性统一化为常用对数（当然也 要以换成以其他非1的正数为底的对 数)，然后化简. (3)解法三，匠心独具，值得效仿.上述方法 是不同底数对数的计算、化简和恒等证 明的常用方法 2.利用换底公式化简求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数. (2)注意换底公式与对数运算法则结合 使用。 题型二 换底公式的应用 (3)换底公式的正用与逆用， (4)恰当应用换底公式的两个常用结论. [例2]计算(log2125+log425+1ogs5)· 3.利用换底公式计算、化简、求值的思路 (log52+1og254+log1258), 用对数的运算法则及性质进 [思路点拨]由于题目中各个对数的底数 思路一 行部分运算→换成同一底数 都不相同，解答本题时可先通过对数换底 公式统一底数，再进行化简求值 次性统一换为常用对数（或 思路彐 自然对数)→化简、通分、求值 4.换底公式常用推论 logb”=logb(a>0,a≠1，b>0,n≠0)； log。b=”1ogb(a>0,a≠1，b>0,m≠0， m n∈R); logb·loga=1(a>0,b>0,a≠1，b≠1)； logb·logc·logd=log,d(a>0,a≠1，b> 0,b≠1，c>0,c≠1，d>0) ⊙[变式训练] 2.已知l1og1g9=a,18=5,求(1)log3645. ·120· 第四章指数函数与对数函数 (2)log15(用a,b表示). 题型四 实际问题中的对数运算 [例4幻2025年3月14日，国际数学日当天， 全球数学界迎来重磅消费—华裔数学家 陈景润奖得主、斯坦福大学教授林辰宣布自 己完成了对黎曼猜想的最终证明，这一成果 被学界视作21世纪数学领域里程碑式突 破.而回溯到1859年的时候，德国数学家黎 曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素 数个数》的论文并提出了一个命题，也就是 题型三 对数运算的综合应用 著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧 [例3]如果方程(1gx)2+(lg7+lg5)·1gx 拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x +lg7·lg5=0的两根是a,B,求3的值. 的素数个数大约可以表示为π(x)≈乙的 In x [思路点拨]解本题的关键是将lgx看 结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以 成一个整体，从而原方程可以看成关于 内的素数的个数为 1gx的二次方程. (素数即质数.lge≈0.43429，计算结果取 整数) A.768 B.144 C.767 D.145 [思路点拨] 由题意，根据π(x)≈ In x' 得到估计1000以内的素数的个数为 n100,根据对数的运算，即可 1000 π(1000)≈ 求解。 规律方法 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中 规律方法 数量关系理清，再将相关数据代入，最后 只有在一元二次方程中才能应用韦达定 利用对数运算性质、换底公式进行计算. 理.α，3尽管是原方程的根，但原方程并非 (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数 是关于x的一元二次方程，所以不能对α， 式利用取对数的方法，转化为对数运 B直接应用韦达定理.而lga,lgB是关于 算，从而简化复杂的指数运算！ gx的二次方程的根，从而可以应用韦达 ◇[变式训练] 定理求解 4.生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得 ◇[变式训练] 到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下 3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个 一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒 根则g 的值等于 的是（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）( A.第7代种子 B.第8代种子 A.2 B.2 C.4 D. 1 C.第9代种子 D.第10代种子 4 121 数学·必修第一册 随堂。步步夯实 1.(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5的值为( A.4 B.1 C.6 D.3 5.计算：log35+21log号反-1ogs0-1og14, 2.下列各式.08+8=②+ln6=3 g 9 )2+2 ③1og23·1og34=2;④ 3万 =9,其中正 确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.若1og3(log2x)=log2(1og3y)=0,则x ,y= C温馨提西 4.1og23×1og34×1og48= 学习至此，请完成配套训练 4.4对数函数 4.4.1 对数函数的概念 课程标准 素养解读 1.了解函数的概念 1.通过对对数函数的理解培养数学直观 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数 素养 函数 2.通过求对数函数的定义域提升数学运算 3.会求对数函数的定义域 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 对中科院古脊椎动物与古人类研究所的 [知识点]对数函数的概念 专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙 1.一般地，函数y= 叫做对数 骨”实际上是一头距今已有1亿至8000万年 函数，其中 是自变量，函数 历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原 的定义域是 模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体 2.对数函数概念的注意点 重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、 ①形式：对数函数的概念与指数函数类似， 最肥胖的“亚洲龙王”. 都是形式定义，注意辨别.如y=2log2x,y= [问题]同学们知道专家是怎样依据“龙骨” 化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？ 1og,号都不是对数函数，可称其为对数型 函数 ②定义域：由指数式与对数式的关系知，对 数函数的自变量x恰好是指数函数的函数 值y,所以对数函数的定义域是(0，+∞). ③底数：对数函数对底数的限制：a>0, 且a≠1. ·122·4.3.2对数的运算 课前预习学案 情境引入 提示：利用对数的运算性质. 知识梳理 知识点一、1.①logM+log.N②logM-log.N ③nlog M 知识点二、1.og log a [思考] 1.提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和： 商的对数等于分子的对数减去分母的对数： 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数， 2.提示：适用，log.(MNQ)=logM十logN+logQ,积的 对数运算性质可以推广到真数是个正数的乘积. &提示：lb86-贤台ogb-兰 Ig a 4.提示：logM=gM=mlg4=m·gM Ig N" nlg N n Ig N =mlogxM. n 预习自测 1.A2.C3.2 课堂互动学案 [例1][解)(1)原式= g3+3s2-昌 2 lg3+21g2-1 3lg3+6lg2-33 2(1g3+21g2-1)21 (2)原式=(1g5)2+lg2(1+lg5) =lg2+lg5(1g5+lg2)=lg2+lg5=1. [例2][解]解法一： 原式-（log:5+log25+l1og5) log:4 log,8 (log.2+log.4 log;8 1og:251og:125 =(31og,5+2og,5+log5 2log:2 3log:2 (1og,2+21og,2+3log2 2log:5 3log:5 =(3+1+3)log:5…3log2 =13log:5·log:2 =13. 解法二：原式= 竖++)是+嘉+器) (1g2+1g4 =(+0+品)修号+张号+) =(0)) =13. 解法三：原式=(1og53+log25+log35)(log2+ log;2 2 +log;2). =(3+1+号)log5…3log,2=3×号=13. ·40 参考答案 [例3][解]方程(lgx)+(lg7+lg5)lgx十lg7·lg5 =0可以看成关于lgx的二次方程. ,a,B是原方程的两根，lga,lgB可以看成关于lgx的 二次方程的两根。 由韦达定理，得 Ig a+lg 8=-(lg 7+lg 5)=-lg 35=lg 35 六.lg(ag)=lga+lg月=lg35ag=35 [例4幻[解析]由题意，小于数字x的素数个数大约可 以表示为r(x)= ，则估计1000以内的素数的个数 In z 约为π(1000)≈ 1000 1000≈ 1000≈145. n10001g1000 3 lg e 0.43429 [答案]D 变式训练 1.解：1)原式=l1og4-log,号+1og,8-254 =1log(x是×8）-9 =log39-9=2-9=-7. (2)原式=g14-1g(号)+1g7-lg18 14×7 =1g =lg1=0. ()×1 2.解：(1)因为18=5，所以b=log1g5. log1845_log18(5×9) 所以log45-1og361ogn2X18 log1s 5+10g1s9 logis 2+logis 18 atb a+b a+b =1+1og821十log18 182-log1g9 =4+b 2-a1 (2)因为18=5，所以log15=b. 所以1og,15=logs15_logs(3X5) logi89 logi89 logis 3+l0g185 a =log18V9+b_logs9立+b a a 2oe9+6 2a+6 _a+2b 2a 3A由韦达定理，得ga+lg6=2,lga·lg6=合，则 (g合）=(lga-lgb=(lga+lgb)-4lga·lgb- 4.C[设第x代种子的数量为61， 由题意得6-1>10，得(x-1)1g6>6, 即>+1，因为后+1=g3g十1=87，所以 种子数量首次超过100万粒的是第9代种子.] 数学·必修第一册 随堂步步夯实 1.B2.B3.234.3 5.解析：原式=10g35X50+210g42寸=10g5-1=3-1 14 =2. 4.4对数函数 4.4.1对数函数的概念 课前预习学案 情境引入 提示：考古学家是通过提取附着在“龙骨”化石上的残留 物，利用=1og:5 P(P为碳14含量)估算出黄河巨龙 的生活年代t的. 知识梳理 知识点一、l.log.x(a>0,且a≠1)x(0,+c∞) [思考] 1.提示：a=N曰logN=x,真数为暴值N,而N>0,故式 子logx中，x>0. 2.提示：在对数函数的定义表达式y=logx(a>0,且a≠1) 中，logx前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置 上，否则就不是对数函数， 预习自测 1.A2.C3.5 课堂互动学案 [例1][解](1)中真数不是自变量x,不是对数函数 (2)中对数式后加2，∴.不是对数函数.(3)中真数为x十1，不 是x,系数不为1，故不是对数函数.(4)中底数是自变量x, 而非常数，所以不是对数函数.(5)中底数是6，真数为 x,系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数. [例2][解析](1)由对数函数的定义，可得m2一3m十3 =1,解得m=2或m=1(舍去). (2)设f(x)=log,x(a>0,且a≠1D,则log。号=-2， ∴fm=log=log:02=log:2=÷ [答案](1)2(2)3 4 [例3][解] ①由{3->0得-3<<3， 3+x>0, 所以函数的定义域是{x一3<x3}: ②由16-4>0，得4<16=4， 由指数函数的单调性得x<2, 所以函数y=log(16-4)的定义域为{xx<2}. [例4][解析]设经过x年全年投入的研发资金开始超 过号亿元，则1+8%)=子， 3 4=24g2=lg3≈0.602047≈4. ∴.x=log1.3=lg1.08 0.033 2022+4=2026. ·40 即该企业全年授入的研发资金开始超过号亿元的年份 是2026. [答案]D 变式训练 1.解：只有(5)为对数函数. (1)中真数不是自变量x,不是对数函数； (2)中对数式后减1，.不是对数函数； (3)中log?x前的系数是2，而不是1， .不是对数函数； (4)中底数是自变量x,而非常数a,∴.不是对数函数. 21-2,x≤1， 2.A[因为f(x)= {-log(x+1),z>1,fa）=-3, 所以∫>1， 或s1, {-log2(a+1)=-3,{2-1-2=-3, 解得a=7, 所以f6-@)=-1)=21-2=-子.] 3.解析：由题意可得 (x-1>0, ,解得1<x<10,故定义 10-x>0 城为{x1<x<10} 答案：(1,10) 4D设至少需受近n次，则(1-）广=0 所以lg是≤-lg20. 1g20 1+0.3010 即n≥1g1-1g3≈2x0.3010-0.477≈10.42. 又n∈N,所以n≥11.] 随堂步步夯实 1.BD2.C3.24.(-∞，-1)U(1,+∞) 6解：0f分）=log2=1og=-1 1 1+立=1og,3=1. 1一2 2y()-1bg1 2023 1+20 =l1og32025 1 1 1+2024 f(2024)=log: 2025 1 1一2024 =1og:2023 f(202）+f(-202)-log2023+log2023 2023 2025 1og31=0. (3)(a)+-a)-lo.+lo=log (·)-o 2