第七章 平行线的证明 7.5 三角形内角和定理（配套课件）-【名校培优课堂】2023-2024学年八年级上册数学同步教学课件PPT（北师大版）

第七章 平行线的证明 第七章 平行线的证明 7.5 三角形内角和定理 第1课时 学习目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点） 2.应用三角形内角和定理解决相关问题.（难点） 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 新课导入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 【思考】除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 【探究】在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 新课讲解 【验证】三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1， (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 ， (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC， (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 【想一想】同学们还有其他的方法吗？ 【思考】多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ★思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ★作辅助线 【例1】 如图，在△ABC中,∠BAC=40 °,∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 例题讲解 【例2 】 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 【例3】 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . 1.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . 3.在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60