精品解析：山西省长治市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中真命题的个数是（ ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知两个单位向量的夹角是，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C. 正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体 D. 台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分 5. 在中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. “升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤.该“升”的容积约是（ ）（约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长.） A. B. C. D. 7. 已知向量，，满足，，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，称此平面坐标系为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，若向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 向量与可作为该平面的一个基底 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图所示，是线段上的两个三等分点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 D. 的共轭复数为 11. 如图所示，一个平面图形ABCD的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是（ ） A. 该平面图形是一个平行四边形但不是正方形 B. 该平面图形的面积是8 C. 该平面图形绕着直线AC旋转半周形成的几何体的体积是 D. 以该平面图形为底，高为3直棱柱的体对角线长为 12. 已知对任意角均有等式.设的内角满足，面积满足.记分别为角的对边，则下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 向量在向量上的投影向量__________. 14. 已知在复平面内，向量对应的复数是对应的复数是，则向量对应的复数是__________. 15. 已知中，角所对的边分别为，那么面积的取值范围是__________. 16. 如图所示，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后将余下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥､若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为单位：，且，则该球的半径（单位：）的取值范围是__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数为虚数单位. （1）若，求； （2）若是关于的实系数方程的一个复数根，求. 18. 已知平面直角坐标系中，向量. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若与的夹角为__________，求实数的取值范围. 请在如下两个条件中任选一个，将问题补充完整，并求解（如果两个条件都选则按第1个的答题情况给分）：①锐角；②钝角. 19. 一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. （1）若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； （2）当时，游船航行到北岸实际航程是多少？ 20. 中，，，，. （1）若，，求的长度； （2）若为角平分线，且，求的面积. 21. 中，分别在边上，且. （1）求与所成锐角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使.若存在，求的值；若不存在，请