专题5-5 复数的概念与运算8大考点-【考点全归纳】2024年高考数学一轮复习核心考点与重难点突破（新高考通用）

专题5-5 复数的概念与运算8大考点 知识点一 复数的基本概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b. 2、复数的分类： 3、复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模， 记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 知识点二 复数的几何意义 1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面； 2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数； 3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量 知识点三 复数的四则运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4） 2、复数运算的几个重要结论 （1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)． （2）·z＝|z|2＝||2. （3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i. （4）＝i；＝－i. （5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i. 一、解决复数概念问题的方法及注意事项 1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. 2、求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 3、复数是实数的条件： ①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝； ③z∈R⇔z2≥0. 4、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0. 二、复数代数形式运算问题的解题策略 1、复数的加减法：在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可； 2、复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可； 3、复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 三、复数几何意义问题的解题策略 1、复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔. 2、由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 考点一 复数的基本概念及应用 【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2023秋·上海长宁·高三校考开学考试）已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为 . 【变式1-2】（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知复数z与都是纯虚数，则 ． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列命题错误的是（ ） A．若，则 B．已知（），当时，复数为纯虚数 C．复数（）的虚部为 D．方程没有解 考点二 复数的四则混合运算 【例2】（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·新疆·统考三模）已知，其中，为虚数单位，则（ ） A． B．1 C． D．2 【变式2-2】（2023秋·广东珠海·高三校考开学考试）（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2023秋·湖南长沙·高三校考开学考试）（多选）下面四个命题中的真命题为（ ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复