平面向量基本定理及坐标运算-高一下学期同步导学案

平面向量基本定理及坐标运算 【考纲解读】 1、 理解平面向量基本定理和平面向量坐标的定义，掌握平面向量坐标表示的基本方法； 2、 掌握平面向量坐标运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量的坐标运算和解答与平面向量坐标运算相关的数学问题。 【知识精讲】 一、平面向量坐标的概念： 1、平面向量基本定理： 如果，是平面内不共线的两个向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对有序实数对（，），使=+成立，这里向量｛，｝称为平面向量的一个基底。 2、平面向量坐标的定义： （1）平面向量坐标的定义：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，作为平面向量的一个基底｛，｝，由平面向量基本定理可知，对于平面内任意一个向量，有且只有一对有序实数对（x，y），使得=x+y成立，则称（x，y）是平面向量的直角坐标，简称坐标； （2）平面向量的坐标表示：如果向量的坐标是（x，y），则可表示为：=（x，y），这个式子称为平面向量的坐标表示式，简称向量的坐标表示。 二、平面向量的坐标运算： 1、平面向量坐标运算的法则： （1）设=（，），=（，）。 ①+=（+ ，+）； ②-=（-，-）； ③=（，）（R）。 （2） 如果已知平面直角坐标系中的两点A（，），B（，），则=（-，-）；即：若已知平面上两点的坐标，求由这两点确定的向量的坐标表示式可以用向量的终点坐标减去向量的始点坐标。 2、平面向量坐标运算的性质： （1）+=+=； （2）.=.=0。 3、平面向量坐标的运算律： （1）加法的交换律：+=+； （2）加法的结合律：(+)+=+(+) （3）实数与向量乘积的交换律：（）=（）； （4）实数与向量乘积的分配律：①（+）=+；②（+）=+。 4、平面向量共线的坐标表示：设=（，），=（，）（0），，共线 -=0，=（0，0）。 5、若，不共线，且+=0，则==0。 【探导考点】 考点1平面向量基本定理及运用：热点①在平面内选择一组基底向量{，}，求平面内任一向量关于向量，的线性表示式；热点②在平面内选择一组基底向量{，}，已知平面内某向量关于向量，的线性表示式，求式子中参数的值； 考点2平面向量的坐标运算：热点①已知向量的坐标表示式，求向量的加，减和实数与向量的乘积运算；热点②已知向量的坐标表示式和两个向量共线，求坐标中参数的值；热点③ 已知四边形三个顶点的坐标，求四边形第四个顶点的坐标，使其两边的向量共线； 考点3共线向量的坐标表示及运用：热点①运用向量向量共线，求向量（或点）的坐标表示式；热点②运用向量共线，求向量坐标表示式中参数的值；热点③运用向量共线，证明三点共线（或两向量共线）。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与+；②-2与-2；③-2与4-2；④+与-。其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 （写出满足条件的序号） 2、已知向量=（1，2），=（-2，3），=（4，1），若，表示，则= ； 3、如图平面内有三个向量，，，， 其中与的夹角为，与的夹 B D C 角为，且||=||=1，||=2，若 O A =+（，R），则+= ； 4、如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为 D M C DC，BC的中点，已知=，=，则 N = ，= （用与表示） A B 5、如图在平行四边形ABCD中，AC与BD相交 D F C 于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD E O 交于点F，若=，=，则等于（ ） A B A + B + C + D + 『思考问题1』 （1）【典例1】是平面向量基本定理的应用问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本定理，掌握解答平面向量基本定理应用问题的基本方法； （2）应用平面向量基本定理表示平面向量的基本思想是运用平面向量几何运算中的平行四边形法则或三角形法则进行向量的线性运算； （3）解答平面向量基本定理应用问题的基本方法是：①充分挖掘题目中的条件，注意方程思想和数形结合思想的应用；②运用平面向量基本定理表示平面向量时注意灵活运用平面向量几何运算中的平行四边形法则和三角形法则；③运用平面向量基本定理表示平面向量时，注意平面向量