2.3 平面向量的基本定理及坐标表示-【优鸿】高中必修4数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学必修4 难度1 第⼆章 平⾯向量 平面向量的基本定理及坐标表示 1. 若 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（    ）. A. B. C. D. 2. 已知 是不共线的向量， ，那么 三点共线的充要条件是（    ）. A. B. C. D. 3. 已知向量 ， ， ，若 ，则 ___________. 4. 已知向量 ，若点A，B，C能构成 三角形，则实数m应满足的条件为_____________ . 5. 如图所示，已知 ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点.若 ，试以 为基底表示 . 6. 已知 是两个非零不共线的向量， ，若 与 是共线向 量，求实数k的值. 7. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成 角的两条数轴， 、 分别是与x轴、y轴正方向同 向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系xOy 中的坐标.假设 ， (1)计算 的大小； (2)由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？ 8. 已知 ，求 ， 的坐标. 9. n为何值时，向量 与 共线且方向相同？ 10. 已知点 ，向量 ， ，点P是线段AB的三等分点，求点P的 坐标. 参考答案 1 C 2 A 3 4 5 6 7 （1） （2）合理 8 ， 9 10 或 高中数学·人教版高中数学必修4 难度2 第⼆章 平⾯向量 平面向量的基本定理及坐标表示 1. 为一组基底，已知向量 ， ， ，若 A，B，D三点共线，则k的值为(      ). A. 2 B. C. D. 3 2. 若向量 、 、 两两所成的角相等，且 ，则 等于(    ). A. 5 B. 2 C. 2或5 D. 或 3. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 ，若点C满足 ，其中 且 ，则点C的轨迹方程为(     ). A. B. C. D. 4. 与向量 平行的单位向量为(      ). A. 或 B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若 ，则 (      ). A. B. C. D. 6. 在 中，点P在BC上，且 ，点Q是AC的中点，若 ， ，则 等于(    ). A. B. C. D. 7. 设 是平面内的一组基底，且 ，则 _______ _______ . 8. 已知两个单位向量 的夹角为 ，若向量 ， ， ，则 __________. 9. 设 、 是平面内一组基底，证明：当 时，恒有 . 10. 已知 ，点P在线段AB的延长线上，且 ，求点P的坐标. 参考答案 1 A 2 C 3 A 4 A 5 A 6 A 7 8 9 假设 ， 由 得： . ∴ 、 共线. ∵ 、 是平⾯内⼀组基底， ∴ 不共线. ∵当 时， 、 共线与 不共线⽭盾， ∴假设 不成⽴，则 . 同理可得 ， ∴当 时，恒有 . 10 点P的坐标为 高中数学·人教版高中数学必修4 难度3 第⼆章 平⾯向量 平面向量的基本定理及坐标表示 1. 设 是同一平面内的两个不共线的非零向量，且 ， . (1)证明： 可以作为一组基底； (2)用 分解向量 ； (3)若 ，求 的值. 2. 已知O是坐标原点，点A在第一象限， ， ，求向量 的坐标． 3. 已知向量 与向量 的对应关系用 表示. (1)设 ， ，求向量 与 的坐标； (2)求使  (p，q为常数)的向量 的坐标； (3)证明：对任意的向量 及常数m，n，恒有 成 立. 4. 已知点 及 . (1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ (2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 5. 已知点 ，直线 ，点R是直线l上的一点，若 ，求点P的轨 迹方程. 参考答案 1 （1）∵ 为同⼀平⾯内的两个不共线的⾮零向量， ∴对于这⼀平⾯内的任意向量 ，有且只有⼀对实数 ，使得 ，且若 为零向量，则 ， ∵ ， ∴ 是⾮零向量. 假设 共线，则存在唯⼀的实数 ，使得 . . 由 得： ∴ 不存在， 即不存在 使得 , ∴假设不成⽴，则 不共线， ∴ 可以作为⼀组基底. （2） （3） 2 3 （1） ； （2） （3）设
， ， 则 ， ， 则 . ∵ 与向量 的对应关系⽤ 表⽰， ∴ . ∴ ， . ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴对任意的向量 及常数m，n，恒有 成⽴. 4 （1） 时，P在x轴上； 时，P在y轴上； 时，P在第⼆象限 （2）不能，因为不满⾜对边平⾏且相等 5