专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用（含解题秘籍+典例展示+跟踪检测）-【学霸养成】2024高考数学压轴大题必杀技系列·导数

专题13 导数的运算法则在抽象函数中的应用 一、考情分析 导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解. 二、解题秘籍 (一) 抽象函数的奇偶性及应用 若可导函数是偶（奇）函数，则是奇（偶）函数. 【例1】已知函数及其导函数的定义域均为，是偶函数，记，也是偶函数，求的值. 【解析】因为是偶函数，所以是奇函数，即， 所以，所以，令可得，即， 因为为偶函数，所以，即， 所以，即，得， 所以4是函数的一个周期，所以． (二)和差型抽象函数的应用 解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子,可构造函数，给出式子,可构造函数 ，一般地，若给出通常构造函数. 【例2】已知的导函数满足且，求不等式的解集． 【解析】令，则，∴在上为单调递增． 又∵，∴，则可转化为， 根据单调性可知不等式的解集为． (三)积型抽象函数的应用 若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，如给出，可构造函数，如给出，可构造函数. 【例3】设是定义在上的非负可导函数，且满足，当时，证明:. 【解析】是定义在上的非负可导函数，且满足， 故不为常数函数，且，构造函数， 则，在上单调递减， 又，且，故，则①， 又，所以②， ①②两式相乘得，即. 【例4】设定义在上的函数的导函数为，若，，求不等式（其中e为自然对数的底数）的解集 【解析】设，则, ∵，∴, 而,故, ∴在R上单调递增， 又，故， ∴的解集为， 即不等式的解集为. 【例5】定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，比较 与的大小. 【解析】因为，所以，． 由，得． 即． 令，，则． 所以函数在上为增函数， 则，即，所以，即． (四)商型抽象函数的应用 若给出形如的式子通常构造函数 ，如给出可构造函数，给出，可构造函数，给出，可构造函数. 【例6】已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，比较的大小. 【解析】设，则 所以函数在上单调递增. ， 为锐角三角形两个内角,则 所以，由正弦函数在上单调递增. 则 所以，即 所以. (五)根据构造函数 若给出形如的式子通常构造偶函数或奇函数. 【例7】设函数在上存在导函数,,有,在上有,若,求实数的取值范围. 【解析】因为,所以 令 即函数为偶函数,因为上有, 所以 即函数在单调递增； 又因为 所以 即,所以,解得 ,故选B. (六)信息迁移题中的抽象函数 求解此类问题关键是如何利用题中的信息. 【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”. (1)判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由； (2)若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由； (3)若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有. 【解析】（1），故是“线性控制函数”； ，故不是“线性控制函数”. （2）命题为真，理由如下： 设，其中 由于在上严格增，故，因此 由于为“线性控制函数”，故，即 令，故，因此在上为减函数 ， 综上所述，，即命题“”为真命题. （3）根据（2）中证明知，对任意都有 由于为“线性控制函数”，故，即 令，故，因此在上为增函数 因此对任意都有，即 当时，则恒成立 当时， 若，则，故 若时，则存在使得 故1，因此 综上所述，对任意都有. （事实上，对任意都有，此处不再赘述） 【例9】定义：若曲线C1和曲线C2有公共点P，且在P处的切线相同，则称C1与C2在点P处相切． (1)设．若曲线与曲线在点P处相切，求m的值； (2)设，若圆M：与曲线在点Q（Q在第一象限）处相切，求b的最小值； (3)若函数是定义在R上的连续可导函数，导函数为，且满足和都恒成立.是否存在点P，使得曲线和曲线y=1在点P处相切？证明你的结论． 【解析】（1）设点，由，求导得， 于是，解得，由，得，解得， 所以m的值为9. （2）设切点，由求导得，则切线的斜率为， 又圆M：的圆心，直线的斜率为， 则由，得，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增， 因此当时，， 所以当时，. （3）假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立，则有， 从而，显然，于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件. 三、典例展示 【例1】已知函数的定义域为，导函数为，若恒成立，求证：. 【解析】设函数，因为，， 所以，则， 所以在上单调递减， 从而,即，所以.